(2012•吉林)如圖,在△ABC中,AB=AC,D為邊BC上一點(diǎn),以AB,BD為鄰邊作?ABDE,連接AD,EC.
(1)求證:△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD,求證:四邊形ADCE是矩形.
分析:(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD;
(2)利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥C=BC,即∠ADC=90°;由平行四邊形的判定定理(對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形)證得四邊形ADCE是平行四邊形,所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.
解答:證明:(1)∵四邊形ABDE是平行四邊形(已知),
∴AB∥DE,AB=DE(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等);
∴∠B=∠EDC(兩直線平行,同位角相等);
又∵AB=AC(已知),
∴AC=DE(等量代換),∠B=∠ACB(等邊對(duì)等角),
∴∠EDC=∠ACD(等量代換);
∵在△ADC和△ECD中,
AC=ED
∠ACD=∠EDC
DC=CD(公共邊)
,
∴△ADC≌△ECD(SAS);

(2)∵四邊形ABDE是平行四邊形(已知),
∴BD∥AE,BD=AE(平行四邊形的對(duì)邊平行且相等),
∴AE∥CD;
又∵BD=CD,
∴AE=CD(等量代換),
∴四邊形ADCE是平行四邊形(對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形);
在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC(等腰三角形的“三合一”性質(zhì)),
∴∠ADC=90°,
∴?ADCE是矩形.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定.注意:矩形的判定定理是“有一個(gè)角是直角的‘平行四邊形’是矩形”,而不是“有一個(gè)角是直角的‘四邊形’是矩形”.
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(1)當(dāng)t=
1
1
s時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合;
(2)當(dāng)t=
4
5
4
5
s時(shí),點(diǎn)D在QF上;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在Q,B兩點(diǎn)之間(不包括Q,B兩點(diǎn))時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

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