Question

（本題滿分11分．為方便答題，可在答卷上畫出你認(rèn)為必要的圖形）

如圖，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別是AD、BC、BE、CE的中點．

（1）求證：△ABE≌△DCE；

（2）四邊形EGFH是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

（3）連接EF,當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，線段EF與BC有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）四邊形EGFH是菱形．證明詳見解析；（3）EF⊥BC，且EF=BC，證明詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）通過證明AE=ED，∠A=∠D， AB=DC，根據(jù)全等三角形的判定可以證得△ABE≌△DCE；

由題意可知GF、FH是△EBC的中位線，且EB=EC，所以GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，從而證得四邊形EGFH是菱形；

連接EF，證得△BEC是等腰直角三角形，從而得到EF⊥BC，且EF=BC．

試題解析：（1）證明：由題意可得ABCD是等腰梯形，

∴∠A=∠D，

在△ABE和△DCE中，AE=ED，∠A=∠D， AB=DC，

∴△ABE≌△DCE．

（2）四邊形EGFH是菱形．

證明：∵GF、FH是△EBC的中位線，且由（1）得EB=EC，

∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，

∴四邊形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，且EF=BC．

證明：連接EF，∵EFGH是正方形，

∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形，

∴EF⊥BC，且EF=BC．

考點：全等三角形的判定；三角形的中位線；菱形的判定；正方形的性質(zhì)．