Question

【題目】在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在邊AC，BC上，OM⊥ON，連MN，AC=4，BC=8，設(shè)AM=a，BN=b，MN=c．

（1）求證：a2+b2=c2；
（2）①若a=1，求b；②探究a與b的函數(shù)關(guān)系；
（3）△CMN面積的最大值為（不寫(xiě)解答過(guò)程）

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交MO的延長(zhǎng)線于E，連接NE．

∵AM∥BE，

∴∠A=∠OBE，

在△AOM和△BOE中，

，

∴△AOM≌△BOE，

∴MO=OE，AM=BE=a，

∵OM⊥ON，

∴MN=NE=c，

∵∠C=90°

∴∠A+∠ABC=90°，

∴∠OBE+∠ABC=90°，

∴∠EBN=90°，

∴NE2=BN2+BE2，

∵NE=c，BE=a，BN=b，

∴a2+b2=c2

（2）①在RT△MNC中，MN2=CM2+CN2，

∴c2=（4﹣a）2+（8﹣b）2，∵a=1，a2+b2=c2，

∴9+（8﹣b）2=1+b2，

∴b=

②∵c2=（4﹣a）2+（8﹣b）2=a2+b2，

∴a+2b=10

（3）
【解析】（3）S△CMN= （4﹣a）（8﹣b）=﹣b2+11b﹣24=﹣（b﹣ ）2+ ，∴當(dāng)b= 時(shí)，S△CMN最大值= ．
所以答案是 ．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．