Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點B，與y軸交于點A，拋物線經(jīng)過A，B兩點，與x軸的另一交點為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△ABC以每秒1個單位的速度沿射線AB方向平移，平移后的三角形記為△DEF，平移時間為t秒，0≤t≤5，平移過程中EF與拋物線交于點G．

①當FG：GE＝3：2時，求t的值；

②△DEF與△AOB重疊部分面積為S，直接寫出S與t的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）①t＝；②S＝

【解析】

（1）點A、B的坐標分別為：（0，﹣4）、（3，0），c＝﹣4，拋物線的表達式為：y＝x2+bx﹣4，將點B的坐標代入上即可求解；

（2）①設點E（x，t），FG：GE＝3：2，則3EG＝2FG，即3（3+﹣x）＝2（x+2﹣），即可求解；

②當0＜t≤2時，S＝S△BRF﹣S△OHR；②當2＜t≤5時，S＝OB×|yD|，即可求解．

解：（1）直線與x軸交于點B，與y軸交于點A，

令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝﹣4，

故點A、B的坐標分別為：（0，﹣4）、（3，0），

c＝﹣4，拋物線的表達式為：y＝x2+bx﹣4，

將點B的坐標代入上式并解得：b＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣4；

（2）設△ABC沿AB移動了t個單位，則向右移動了t個單位、向上移動了t個單位，

則點E、F、D的坐標分別為：（3+t，t），（﹣2+t，t）、（t，﹣4+t）；

①設點E（x，t），

FG：GE＝3：2，則3EG＝2FG，

即3（3+﹣x）＝2（x+2﹣），

化簡得：x＝1+，

將點E（1+，）的坐標代入拋物線表達式并整理得：

3t2+3t﹣50＝0，

解得：t＝（不合題意的值已舍去）；

②當0＜t≤2時，

如下圖所示，設直線FD與x、y軸分別交于點R、H，

由點A、C的坐標可得，直線AC的表達式為：y＝﹣2x﹣4，

則設直線FD的表達式為：y＝﹣2x+b，

將點D的坐標代入上式并解得：b＝2t﹣4，

故直線FD的表達式為：y＝﹣2x+2t﹣4，

則點R、H的坐標分別為：（t﹣2，0）、（2t﹣4）；

S＝S△BRF﹣S△OHR

＝BR×|yD|﹣×OR×OH

＝（3﹣t+2）（﹣t+4）﹣（2﹣t）（4﹣2t）

＝﹣t2+6；

②當2＜t≤5時，

S＝OB×|yD|＝×3×（4﹣t）＝﹣t+6；

綜上，S＝．