Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)（不與重合），將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)，

①直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；

②若拋物線與線段有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(3，2)；（2）①(5－2a，2)；②－1＜a＜或a=－2或a=－10

【解析】

（1）將a代入拋物線，用配方法求頂點(diǎn)；

（2）①存在3種情況，具體情況見分析.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，AC之間的距離即為點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，縱坐標(biāo)為2；

（2）②依舊按照2種情況分析，當(dāng)2a－3＞2時(shí)，畫圖發(fā)現(xiàn)，一定無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)2a－3＜2時(shí)，首先可以確定拋物線過定點(diǎn)(1，－2)和(2，1)，且點(diǎn)C在點(diǎn)A的下方，然后在用數(shù)形結(jié)合的方法，再細(xì)分為拋物線開口向上和開口向下的情況求解

（1）將a=－2代入拋物線得：

配方得：

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)

（2）①∵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2a－3

∴點(diǎn)C(0，2a－3)

分為2種情況進(jìn)行討論：

情況一：2a－3＞2；

情況二：0＜2a－3＜2；

情況三：2a－3＜0；

分析情況一，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°圖形如下：

AC=2a－3－2=2a－5，∴AB=AC=2a－5

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：－(2a－5)=5－2a，縱坐標(biāo)為：2

∴B(5－2a，2)

情況二、三同理，也得到B(5－2a，2)

∴B(5－2a，2)

②拋物線的對(duì)稱軸為：

情況一：當(dāng)2a－3＞2，即a＞時(shí)

點(diǎn)C在點(diǎn)A的上方，拋物線的開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，草圖如下：

則拋物線與線段AB一定無(wú)交點(diǎn)

情況二：當(dāng)2a－3＜2，即a＜時(shí)

∵拋物線

化簡(jiǎn)得：

故拋物線過定點(diǎn)：(1，－2)，(2，1)

在求解過程中，還需要討論拋物線的開口，需要繼續(xù)細(xì)分：

第一種情況：當(dāng)拋物線開口向下，a+1＜0，即a＜－1時(shí)，圖形如下

拋物線過定點(diǎn)(1，－2)，(2，1)，且開口向下，與線段AB僅有一個(gè)交點(diǎn)，則拋物線一定如上圖所示，即定點(diǎn)在AB線段上，即定點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2

根據(jù)拋物線解析式，定點(diǎn)縱坐標(biāo)為：

化簡(jiǎn)得：(a+2)(a+10)=0，解得：a=－2或a=－10

第二種情況，拋物線開口向上，a+1＞0，即a＞－1，且a＜，即：－1＜a＜時(shí)，圖形如下：

拋物線過定點(diǎn)(1，－2)，(2，1)，且開口向上，與線段AB僅有一個(gè)交點(diǎn)，則拋物線一定如上圖所示(臨界點(diǎn))，即當(dāng)拋物線的右側(cè)剛好經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)為臨界點(diǎn)

∵B(5－2a，2)

∴只需當(dāng)x=5－2a時(shí)，y＞2即可

即：

化簡(jiǎn)得：

解得：－1＜a＜或a＞(舍)

綜合得：1＜a＜或a=－2或a=－10