【題目】綜合與實(shí)踐
問(wèn)題背景
折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng),將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的,但將一邊三等分就不是那么容易了,近些年,經(jīng)過(guò)人們的不懈努力,已經(jīng)找到了多種將正方形折紙一邊三等分的精確折法,最著名的是由日本學(xué)者芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的三種折法,現(xiàn)在被數(shù)學(xué)界稱之為芳賀折紙三定理.其中,芳賀折紙第一定理的操作過(guò)程及內(nèi)容如下(如圖1):
操作1:將正方形ABCD對(duì)折,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合.再將正方形ABCD展開,得到折痕EF;
操作2:再將正方形紙片的右下角向上翻折,使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,邊BC翻折至B'E的位置,得到折痕MN,B'E與AB交于點(diǎn)P.則P即為AB的三等分點(diǎn),即AP:PB=2:1.
解決問(wèn)題
(1)在圖1中,若EF與MN交于點(diǎn)Q,連接CQ.求證:四邊形EQCM是菱形;
(2)請(qǐng)?jiān)趫D1中證明AP:PB=2:l.
發(fā)現(xiàn)感悟
若E為正方形紙片ABCD的邊AD上的任意一點(diǎn),重復(fù)“問(wèn)題背景”中操作2的折紙過(guò)程,請(qǐng)你思考并解決如下問(wèn)題:
(3)如圖2.若 =2.則= ;
(4)如圖3,若=3,則= ;
(5)根據(jù)問(wèn)題(2),(3),(4)給你的啟示,你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)更加一般化的結(jié)論嗎?請(qǐng)把你的結(jié)論寫出來(lái),不要求證明.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)4;(4)6;(5)見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)由折疊可得,CM=EM,∠CMQ=∠EMQ,四邊形CDEF是矩形,由CM=EQ,CM∥QE,可證四邊形EQCM是平行四邊形,進(jìn)而證明四邊形EQCM是菱形;
(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,CM=x,則EM=x,DM=1﹣x,在Rt△DEM中,由勾股定理可求得x的值,由△AEP∽△DME,列比例式求出AP的值,進(jìn)而求出PB的值,從而結(jié)論可求;
(3)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,CM=x,則EM=x,DM=1﹣x,在Rt△DEM中,由勾股定理可得x的值,由△AEP∽△DME,可得AP的值和BP的值,進(jìn)而求得結(jié)論.
(4)與(3)相同的方法求解即可;
(5)與(3)相同的方法求解即可;
詳解:(1)由折疊可得,CM=EM,∠CMQ=∠EMQ,四邊形CDEF是矩形,
∴CD∥EF,
∴∠CMQ=∠EQM,
∴∠EQM=∠EMQ,
∴ME=EQ,
∴CM=EQ,
又∵CM∥QE,
∴四邊形EQCM是平行四邊形,
又∵CM=EM,
∴四邊形EQCM是菱形;
(2)如圖1,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,CM=x,則EM=x,DM=1﹣x,
在Rt△DEM中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2,
即x2=()2+(1﹣x)2,解得x=,
∴CM=,DM=,
∵∠PEM=∠D=90°,
∴∠AEP+∠DEM=90°,∠DEM+∠EMD=90°,
∴∠AEP=∠DME,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△AEP∽△DME,
∴=,即,解得AP=,
∴PB=,
∴AP:PB=2:l.
(3)如圖2,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,CM=x,則EM=x,DM=1﹣x,
在Rt△DEM中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2,
即x2=()2+(1﹣x)2,解得x=,
即CM=,
∴DM=,
由△AEP∽△DME,可得
=,即,解得AP=,
∴PB=,
∴=4,
故答案為:4;
(4)如圖3,同理可得AP=,PB=,
∴=6,
故答案為:6;
(5)根據(jù)問(wèn)題(2),(3),(4),可得當(dāng)(n為正整數(shù)),則.
理由:設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,CM=x,則EM=x,DM=1﹣x,
在Rt△DEM中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2,
即x2=()2+(1﹣x)2,解得x=,
∴DM=1﹣CM=,
由△AEP∽△DME,可得
=,即,解得AP=,
∴PB=,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)被分隔成、、、、共個(gè)區(qū), 區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形, 區(qū)是邊長(zhǎng)為的正方形.
(1)列式表示每個(gè)區(qū)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng),并將式子化簡(jiǎn);
(2)列式表示整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng),并將式子化簡(jiǎn);
(3)如果, ,求整個(gè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:O是直線AB上一點(diǎn),∠AOC=50°,OD是∠BOC的角平分線,OE⊥OC于點(diǎn)O.求∠DOE的度數(shù).(請(qǐng)補(bǔ)全下面的解題過(guò)程)
解:∵O是直線AB上一點(diǎn),∠AOC=50°,
∴∠BOC=180°-∠AOC= °.
∵ OD是∠BOC的角平分線,
∴∠COD= ∠BOC .( )
∴∠COD=65°.
∵OE⊥OC于點(diǎn)O,(已知).
∴∠COE= °.( )
∴∠DOE=∠COE-∠COD= ° .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象與一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象交于A(﹣2,m),B(n,﹣1)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)連接OA,OB,求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn),其中AB=12,且A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù).
(1)請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)O,并寫出點(diǎn)A表示的數(shù);
(2)如果點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)向左運(yùn)動(dòng),那么經(jīng)過(guò) 秒時(shí),點(diǎn)C恰好是BQ的中點(diǎn);
(3)如果點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),那么經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)PC=2PB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),A(4,4 ),B(8,0).將△OAB沿直線CD折疊,使點(diǎn)A恰好落在線段OB上的點(diǎn)E處,若OE=,則CE:DE的值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,點(diǎn)P在邊AB上.
(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;
(2)若AB=AD,以過(guò)點(diǎn)P的直線為軸,將四邊形ABCD折疊,使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B′、C′上,且B′C′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,折痕與四邊形的另一交點(diǎn)為Q.在圖2中作出四邊形PB′C′Q(保留作圖痕跡,不必說(shuō)明作法和理由).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0)的直線y=kx﹣3與直線y=﹣x交于點(diǎn)B,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;
(3)當(dāng)BP平分△OAB的面積時(shí),直線BP與y軸交于點(diǎn)D,求線段BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在國(guó)慶節(jié)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,鹽城某校甲、乙、丙三位同學(xué)一起調(diào)查了高峰時(shí)段鹽靖高速、鹽洛高速和沈海高速的車流量(每小時(shí)通過(guò)觀測(cè)點(diǎn)的汽車車輛數(shù)),三位同學(xué)匯報(bào)高峰時(shí)段的車流量情況如下:
甲同學(xué)說(shuō):“鹽靖高速車流量為每小時(shí)2000輛.”
乙同學(xué)說(shuō):“沈海高速的車流量比鹽洛高速的車流量每小時(shí)多400輛.”
丙同學(xué)說(shuō):“鹽洛高速車流量的5倍與沈海高速車流量的差是鹽靖高速車流量的2倍.”
請(qǐng)你根據(jù)他們所提供的信息,求出高峰時(shí)段鹽洛高速和沈海高速的車流量分別是多少?
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