Question

如圖，邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對角線AC折疊后，點(diǎn)B落在第四象限B₁處，設(shè)B₁C交x軸于點(diǎn)D，求：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）三角形ADC的面積；
（3）CD所在的直線解析式；
（4）點(diǎn)B₁的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=4，OA∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
由折疊的性質(zhì)可得：∠ACB=∠ACD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴AD=CD，
設(shè)OD=x，則CD=AD=8-x，
在Rt△OCD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴OD=3，AD=CD=5，
∴D（3，0）；

（2）∵OC=4，AD=5，
∴S_△ACD=AD•OC=×5×4=10，

（3）∵C（0，4），D（3，0），
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴CD所在的直線解析式為y=-x+4；

（4）過點(diǎn)B₁作B₁E⊥OA于點(diǎn)E，
則B₁E∥OC，
∴△B₁ED∽△COD，
∴，
∵OD=3，OC=4，CD=5，
∴B₁D=B₁C-CD=8-5=3，
∴，
解得：ED=，B₁E=，
∴OE=OD+ED=，
∴點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（，-）．
分析：（1）由矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△ADC是等腰三角形，然后設(shè)OD=x，又由勾股定理，即可得方程x²+4²=（8-x）²，解此方程即可求得答案；
（2）由AD=5，OC=3，即可求得三角形ADC的面積；
（3）由C（0，4），D（3，0），設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得CD所在的直線解析式；
（4）首先過點(diǎn)B₁作B₁E⊥OA于點(diǎn)E，則B₁E∥OC，即可得△B₁ED∽△COD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．