(1997•浙江)如圖,⊙O1與⊙O2相交,大圓⊙O1的弦AB⊥O1O2,垂足是F,且交⊙O2于點(diǎn)C,D,過B作⊙O2的切線,E為切點(diǎn),已知BE=DE,BD=m,BE=n,AC,CE的長是關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩個根.
(1)求證:AC=BD;
(2)用含m,n的代數(shù)式分別表示p和q;
(3)如果關(guān)于x的方程qx2-(m2+mp)x+1=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,且∠DEB=30°,求⊙O2的半徑.
分析:(1)由垂徑定理可知FA=FB,F(xiàn)C=FD,所以AC=BD;
(2)由已知條件證明△CBE∽△EBD可得:BC=
BE2
BD
=
n2
m
,證明△CBE∽△EBD可得
CB
BE
=
CE
DE
,因?yàn)锽E=DE,所以CE=CB=
n2
m
,又AC=BD=m,所以p=-(AC+CE)=-(m+
n2
m
)=-
m2+n2
m
,q=AC•CE=m•
n2
m
=n2;
(3)因?yàn)榉匠蘱x2-(m2+mp)x+1=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,所以△=[-(m2+mp)]2-4q=(-n22-4n2=0,連接O2D,O2E,證明△O2ED是等邊三角形,即可得到O2E=DE=BE=2.
解答:解:(1)∵O1F⊥AB,
∴FA=FB.
∵O2F⊥CD,
∴FC=FD,
∴AC=BD;

(2)∵BE和⊙O2切于點(diǎn)E,
∴BE2=BD•BC,
∴BC=
BE2
BD
=
n2
m
,
又∵∠BCE=∠DEB,∠B=∠B,
∴△CBE∽△EBD,
CB
BE
=
CE
DE
,
∵BE=DE,
∴CE=CB=
n2
m
,
又∵AC=BD=m,
∴p=-(AC+CE)=-(m+
n2
m
)=-
m2+n2
m
,q=AC•CE=m•
n2
m
=n2

(3)∵方程qx2-(m2+mp)x+1=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,
而p=-
m2+n2
m
•q=n2,
∴△=[-(m2+mp)]2-4q=(-n22-4n2=0.
由n>0,
解得n=2.
連接O2D,O2E.
又∵∠DEB=30°,∠BEO2=90°,
∴∠O2ED=60°,
∴△O2ED是等邊三角形,
∴O2E=DE=BE=2,
即⊙O2的半徑是2.
點(diǎn)評:本題考查了垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、根的判別式的應(yīng)用以及等邊三角形的判定和性質(zhì),此題將兩圓相交的條件以及和兩圓相關(guān)的線段和角巧妙地結(jié)合起來,使之成為一個有機(jī)的整體,要充分利用它們之間的關(guān)系.
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(1)求線段EF的長;
(2)設(shè)EG=x,△AGE與△CFH的面積和為S,寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍,并求出S的最小值.

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10
10
cm.

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S1
S2
=(  )

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