Question

若一條直線將一個平面圖形分成面積相等的兩部分，則該直線被平面圖形截得的線段叫做該圖形的面徑。例如圓的直徑就是它的面徑。

（1）已知等邊三角形的邊長為2，則它的面徑長可以是_________（寫出2個）；

（2）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥DC，M是AD的中點，射線CM交射線BA于點E。取EB的中點F，連接CF。求證：CF是梯形ABCD的面徑；

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，D，E分別是線段BC，AC上的點，EF是四邊形ABDE的一條面徑。若AB＝CB＝CE＝2，∠BED＝45°，求DF。

Answer 1

解：（1），                                                          （2分）

（2）以下為解題思路表述：

由條件可推得，                           （3分）

再由條件可推得△CDM≌△EAM，                     （4分）

∴，           （5分）

∴CF是梯形ABCD的面徑。                               （6分）

（3）如圖，作AG∥EB，交直線BC于點G，連接GE，GE交AB于點H，

則易得，                                     （7分）

∴

又∵EF是四邊形ABDE的一條面徑，

∴F是GD的中點，                                            （8分）

由AB＝CB＝CE＝2，∠BED＝45°，

可推得△CDE≌△AEB，                                     （9分）

∴CD＝AE＝                                         （10分）

又由條件可推得GC＝AC＝，                     （11分）

∴DF＝1                                                             （12分）