如圖,G為正方形ABCD的對稱中心,A(0,2),B(1,0),直線OG交AB于E,DC于F,點Q從A出發(fā)沿A→B→C的方向以
5
個單位每秒速度運(yùn)動,同時,點P從O出發(fā)沿OF方精英家教網(wǎng)向以
2
個單位每秒速度運(yùn)動,Q點到達(dá)終點,點P停止運(yùn)動,運(yùn)動時間為t.求:
(1)求G點的坐標(biāo).
(2)當(dāng)t為何值時,△AEO與△DFP相似?
(3)求△QCP面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.
分析:(1)過C作CN⊥x軸于N,△ABO≌△BCN,推出C點的坐標(biāo),然后結(jié)合A、B兩點的坐標(biāo)即可推出G點的坐標(biāo);
(2)若想△AEO與△DFP相似,我們要先了解需要哪些條件,由于G是正方形的對稱中心?∠GDF=45°,然后分兩種情況進(jìn)行討論:∠DPF=45°時和當(dāng)∠PDF=45°時,很容易即可推出t所的值;
(3)因為Q為運(yùn)動的點,本題要根據(jù)Q點的不同位置分類求解:第一種情況為Q點在AE上時,第二種情況為Q點在EB上時,第三種情況為Q點在BC上時,根據(jù)三角形的面積公式,結(jié)合已知條件,分別求出△QCP面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過C作CN⊥x軸于N;由于四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°;
∴∠ABO+∠CBN=90°,
∵∠CBN+∠BCN=90°,
∴∠BCN=∠ABO,
∠AOB=∠BNC,
∴△ABO≌△BCN(aas),
則AO=BN=2,OB=CN=1,
∴C(3,1),
∵A(0,2),G為對角線AC的中點,
∴G(
3+0
2
,
1+2
2
)即G(
3
2
3
2
);

(2)由于G是正方形的對稱中心,
∴∠GDF=45°,
由于AB∥CD,得∠DFP=∠AEO,若△AEO與△DFP相似,則:
①當(dāng)∠PDF=45°時,P、G重合,此時P(
3
2
3
2
),
2
t=
3
2
2
,
故t=
3
2

②∵A(0,2)B(1,0)C(3,1),
∴D(2,3),
當(dāng)∠DPF=45°時,DP∥y軸,此時P(2,2),
2
t=2
2
故t=2;
所以當(dāng)t=2或t=
3
2
時,△AEO與△DFP相似;

(3)0≤t≤
2
3
,
∵AQ=
5
t,
∴Q(t,2-2t),
∵OP=
2
t,
∴P(t,t),
∴PQ∥y軸,
∴PQ=2-2t-t=-3t+2,
∴高h(yuǎn)=3-t,
∴S△QCP=
1
2
(-3t+2)(3-t),
∴S=
3
2
t2-
11
2
t+3

2
3
≤t≤1時,
PQ=3t-2,
∴S△QCP=
1
2
(3t-2)(3-t),
∴S=-
3
2
t2+
11
2
t-3,
③1≤t≤2時,
如圖,過P點作PH⊥BC,PI⊥x軸,垂足為H、I,PI交BC于M,
∴△BIM∽△PHM,
∵正方形ABCD,
∴∠ABO+∠MBI=90°,
∴∠OAB=∠MBI,
∴△BIM∽△ABO∽△PHM,
∵BI=t-1,
∴MI=
t-1
2
,PM=t-
t-1
2
=
t+1
2

∴PH=
2
5
PM=
2
5
×
t+1
2
=
t+1
5
,
∴S△QCP=
1
2
(2
5
-
5
t)
t+1
5
=-
1
2
t2+
1
2
t+1
,
∴S=
3
2
t2-
11
2
t+3(0≤t≤
2
3
)   
-
3
2
t2+
11
2
t-3(
2
3
≤t≤1)
-
1
2
t2+
1
2
t+1(1≤t≤2) 
點評:本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),三角形全等的性質(zhì),正方形的性質(zhì),二次函數(shù)式在實際問題中的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件,求出各相關(guān)點的坐標(biāo),考慮Q點在不同位置時的分類求解.
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2
個單位每秒速度運(yùn)動,運(yùn)動時間為t.求:
(1)C的坐標(biāo)為
 
;
(2)當(dāng)t為何值時,△ANO與△DMR相似?
(3)△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;并求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時t的值及S的值.

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10
,tan∠ABO=3,直線OP交AB于N,DC于M,點H從原點O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個單位每秒速度運(yùn)動,同時,點R從O出發(fā)沿OM方向以
2
個單位每秒速度運(yùn)動,運(yùn)動時間為t,求:
(1)直接寫出A、D、P的坐標(biāo);
(2)求△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)t為何值時,△ANO與△DMR相似?
(4)求以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形時t的值.

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(1)求證:CD與⊙0相切;
(2)若⊙0的半徑為
2
,求正方形ABCD的邊長.

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