Question

【題目】如圖，△ABC的兩條高BD、CE相交于點O 且OB＝OC．則下列結論：

①△BEC≌△CDB；

②△ABC是等腰三角形；

③AE＝AD；

④點O在∠BAC的平分線上，

其中正確的有_____．（填序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由三角形內角和定理可得∠ABC＝∠ACB，可得AB＝AC；由AAS可證△BEC≌△CDB；可得BE＝CD，可得AD＝AE；通過證明△AOB≌△AOC，可證點O在∠BAC的平分線上．即可求解．

解：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形，故②符合題意；

∵∠OBC＝∠OCB，∠BDC＝∠BEC＝90°，且BC＝BC，

∴△BEC≌△CDB（AAS），故①符合題意，

∴BE＝CD，且AB＝AC，

∴AD＝AE，故③符合題意；

連接AO并延長交BC于F，

在△AOB和△AOC中，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF＝∠CAF，

∴點O在∠BAC的角平分線上，故④符合題意，

故正確的答案為：①②③④．