Question

【題目】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在射線MB上，連接AN，平移△ABN，使點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)M，得到△DEM（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)），DM交AC于點(diǎn)P．

（1）若點(diǎn)N是線段MB的中點(diǎn)，如圖1．

①依題意補(bǔ)全圖1；

②求DP的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)N在線段MB的延長(zhǎng)線上，射線DM與射線AB交于點(diǎn)Q，若MQ＝DP，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②；（2）2﹣2

【解析】

（1）利用平移的性質(zhì)畫出圖形，再利用相似得出比例式，即可求出線段DP的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)條件MQ＝DP，利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出BN的長(zhǎng)即可解決．

解：（1）①如圖1，補(bǔ)全圖形：

②連接AD，如圖1，

在Rt△ABN中，

∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1，

∴AN＝，

∵線段AN平移得到線段DM，

∴DM＝AN＝，

由平移可得，AD＝NM＝1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP，

∴，

∴DP＝DM＝；

（2）如圖2，連接NQ，

由平移知：AN∥DM，且AN＝DM，

∵MQ＝DP，

∴PQ＝DM，

∴AN∥PQ，且AN＝PQ，

∴四邊形ANQP是平行四邊形，

∴NQ∥AP，

∴∠BQN＝∠BAC＝45°，

又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，

∴BN＝BQ，

∵AN∥MQ，

∴,

又∵M是BC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝4，

∴,

∴NB＝2 或-2 （舍去），

∴ME＝BN＝2，

∴CE＝2﹣2．