【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣,與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動點(diǎn),連接PD、PF,當(dāng)△PDF的面積最大時,在線段BE上找一點(diǎn)G,使得PG﹣EG的值最小,求出PG﹣EG的最小值.
(3)如圖2,點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上,點(diǎn)K為平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以A、M、N、K為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+﹣x+2;(2);(3)N點(diǎn)的坐標(biāo)為:或()或(﹣)或(﹣)或(﹣)或或(﹣)
【解析】
(1)根據(jù)對稱軸公式列出等式,帶點(diǎn)到拋物線列出等式,解出即可;
(2)先求出A、B、C的坐標(biāo),從而求出D的坐標(biāo)算出BD的解析式,根據(jù)題意畫出圖形,設(shè)出P、G的坐標(biāo)代入三角形的面積公式得出一元二次方程,聯(lián)立方程組解出即可;
(3)分類討論①當(dāng)AM是正方形的邊時,(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(N在下方), (ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時,②當(dāng)AM是正方形的對角線時,分別求出結(jié)果綜合即可.
(1)拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣,與x軸交于點(diǎn)B(1,0).
∴,解得,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+﹣x+2;
(2)拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,
∴A(﹣4,0),B(1,0),C(0,2).
∵點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),
∴D(﹣2,1),
∴直線BD的解析式為:,
過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EF于點(diǎn)G,如圖1,
設(shè)點(diǎn)P(x,),則點(diǎn)G(x,).
∴,
當(dāng)x=﹣時,S最大,即點(diǎn)P(﹣,),
過點(diǎn)E作x軸的平行線交PG于點(diǎn)H,
則tan∠EBA=tan∠HEG=,
∴,故為最小值,即點(diǎn)G為所求.
聯(lián)立 解得,(舍去),
故點(diǎn)E(﹣,),
則PG﹣的最小值為PH=.
(3)①當(dāng)AM是正方形的邊時,
(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(N在下方),如圖2,
當(dāng)點(diǎn)M在第二象限時,過點(diǎn)A作y軸的平行線GH,過點(diǎn)M作MG⊥GH于點(diǎn)G,過點(diǎn)N作HN⊥GH于點(diǎn)H,
∴∠GMA+∠GAM=90°,∠GAM+∠HAN=90°,
∴∠GMA=∠HAN,
∵∠AGM=∠NHA=90°,AM=AN,
∴△AGM≌△NHA(AAS),
∴GA=NH=4﹣,AH=GM,
即y=﹣,/span>
解得x=,
當(dāng)x=時,GM=x﹣(﹣4)=,yN=﹣AH=﹣GM=,
∴N(,).
當(dāng)x=時,同理可得N(,),
當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時,同理可得N(,).
(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時,如圖3,
點(diǎn)M在第一象限時,過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H
設(shè)AH=b,同理△AHM≌△MGN(AAS),
則點(diǎn)M(﹣4+b,b﹣).
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得:b=(負(fù)值舍去)
yN=yM+GM=yM+AH=,
∴N(﹣,).
當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時,同理可得N(﹣,-).
②當(dāng)AM是正方形的對角線時,
當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時,過點(diǎn)M作MG⊥對稱軸于點(diǎn)G,
設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)H,如圖4.
∵∠AHN=∠MGN=90°,∠NAH=∠MNG,MN=AN,
∴△AHN≌△NGN(AAS),
設(shè)點(diǎn)N(﹣
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得, (舍去),
∴N(,),
當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時,同理可得N(,).
綜上所述:N點(diǎn)的坐標(biāo)為:或()或(﹣)或(﹣)或(﹣)或或(﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+3的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,且tan∠CAO=3.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P是對稱軸右側(cè)拋物線上的點(diǎn),聯(lián)結(jié)CP,交對稱軸于點(diǎn)F,當(dāng)S△CDF:S△FDP=2:3時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,將△PCD沿直線MN翻折,當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合時,折痕MN交x軸于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l與⊙O相離,OA⊥ 于點(diǎn)A,與⊙O相交于點(diǎn)P,OA=5.C是直線上一點(diǎn),連結(jié)CP并延長交⊙O于另一點(diǎn)B,且AB=AC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,求線段BP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=(n>0)交于點(diǎn)A(1,3),B(3,m).
(1)分別求兩個函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖像直接寫出,當(dāng)x為何值時,y1<y2;
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使得△OAP的面積為6,求出P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一茶葉專賣店經(jīng)銷某種品牌的茶葉,該茶葉的成本價是80元/kg,銷售單價不低于120元/kg,且不高于180元/kg,經(jīng)銷一段時間后得到如下數(shù)據(jù):
設(shè)y與x的關(guān)系是我們所學(xué)過的某一種函數(shù)關(guān)系.
(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)銷售單價為多少時,銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示:等邊△ABC中,線段AD為其內(nèi)角角平分線,過D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1.
(1)請你探究:,是否都成立?
(2)請你繼續(xù)探究:若△ABC為任意三角形,線段AD為其內(nèi)角角平分線,請問一定成立嗎?并證明你的判斷.
(3)如圖(2)所示Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=8,BC=,DE∥AC交AB于點(diǎn)E,試求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c和直線y=x+1交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在直線x=3上,直線x=3與x軸交于點(diǎn)C
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)P,Q同時出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒(t>0).以PQ為邊作矩形PQNM,使點(diǎn)N在直線x=3上.
①當(dāng)t為何值時,矩形PQNM的面積最?并求出最小面積;
②直接寫出當(dāng)t為何值時,恰好有矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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