Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝5cm，BC＝6cm，點(diǎn)E．F．G分別從A．B．C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設(shè)點(diǎn)E．F．G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）當(dāng)t等于多少s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形；

（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B’與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝1.25；（2）當(dāng)t＝1.4s或t＝（﹣7+）s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似；（3）不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．理由見解析.

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE＝BF，列一元一次方程求解即可；

（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計(jì)算；

（3）本問為存在型問題．假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在

（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，

即：5﹣t＝3t，

解得t＝1.25；

故答案為：1.25；

（2）分兩種情況，討論如下：

①若△EBF∽△FCG，

則有，即，

解得：t＝1.4；

②若△EBF∽△GCF，

則有，即，

解得：t＝﹣7﹣（不合題意，舍去）或t＝﹣7+．

∴當(dāng)t＝1.4s或t＝（﹣7+）s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似．

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．

如圖，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，則在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，

由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2，

即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2

解得：t＝；

過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，則在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，

由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2，

即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2

解得：t＝．

∵≠，

∴不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．