【題目】已知:如圖,以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E,過點D作DF⊥BC,垂足為F.
(1)求證:DF為⊙O的切線;
(2)若等邊三角形ABC的邊長為4,求DF的長;
(3)寫出求圖中陰影部分的面積的思路.(不求計算結(jié)果)
【答案】
(1)證明:連接OD,如圖,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠A=∠C=60°,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠A=60°,
∴∠ODA=∠C,
∴OD∥BC,
∵DF⊥BC,
∴OD⊥BC,
∴DF為⊙O的切線
(2)解:∵等邊三角形ABC的邊長為4,
∴AB=AC=4,∠C=60°,
∵AO=AD=2,
∴CD=2,
在Rt△CDF中,∵sinC= ,
∴DF=2sin60°=
(3)解:連接OE,如圖,
∵CF= CD=1,
∴EF=CE﹣CF=1,
∴S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE= (1+2) ﹣ = ﹣ π.
【解析】(1)連接OD,如圖,利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=60°,再證明OD∥BC,然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC,再根據(jù)切線的判定定理可判斷DF為⊙O的切線;(2)利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=4,∠C=60°,則CD=2,然后在Rt△CDF中利用正弦的定義可計算出DF;(3)連接OE,如圖,根據(jù)扇形的面積公式,利用S陰影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE進行計算.
【考點精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)和切線的判定定理是解答本題的根本,需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賽季中國職業(yè)籃球聯(lián)賽第11輪前四名球隊積分榜如下:
隊名 | 比賽場次 | 勝場 | 負場 | 積分 |
遼寧 | 11 | 11 | 0 | 22 |
北京 | 11 | 10 | 1 | 21 |
廣廈 | 11 | 9 | 2 | 20 |
新疆 | 11 | 8 | 3 | 19 |
(1)若一個隊勝m場,則總積分為_____;
(2)某隊的勝場總積分能否等于它的負場總積分,你的觀點是:_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】讀圖并回答下列問題:
(1)過點A的直線有哪幾條?
(2)以O為端點的射線有哪幾條?
(3)寫出圖中所有的線段.
(4)∠ABC是哪兩個角的和?
(5)比較線段AB,OB的長短.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料: 如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.
觀察圖象可知:
①當(dāng)x=﹣3或1時,y1=y2;
②當(dāng)﹣3<x<0或x>1時,y1>y2 , 即通過觀察函數(shù)的圖象,可以得到不等式ax+b> 的解集.
有這樣一個問題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識的經(jīng)驗,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進行了探究.
下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補充完整:
(1)①將不等式按條件進行轉(zhuǎn)化: 當(dāng)x=0時,原不等式不成立;
當(dāng)x>0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1> ;
當(dāng)x<0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1< ;
②構(gòu)造函數(shù),畫出圖象
設(shè)y3=x2+4x﹣1,y4= ,在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象.
雙曲線y4= 如圖2所示,請在此坐標系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(2)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標 觀察所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為
(3)借助圖象,寫出解集 結(jié)合(1)的討論結(jié)果,觀察兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè).
(1)求A,B兩點的坐標和此拋物線的對稱軸;
(2)設(shè)此拋物線的頂點為C,點D與點C關(guān)于x軸對稱,求四邊形ACBD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠B的平分線BE與AD交于點E,∠BED的平分線EF與DC交于點F,當(dāng)點F是CD的中點時,若AB=4,則BC=_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年國慶期間,一旅游團到安徽境內(nèi)某旅游景點,看到售票處旁邊的公告欄如圖所示,請根據(jù)公告欄內(nèi)容解答下列問題:(答案直接寫在橫線上)
(1)若旅游團人數(shù)為18人,門票費用是 元;若旅游團人數(shù)為22人,門票費用為 _______元.
(2)設(shè)旅游團人數(shù)為x人,試用含量x的代數(shù)式表示該旅游團門票費用y元.
(解)y=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩條直線相交,只有1個交點,三條直線相交,最多有3個交點,四條直線相交,最多有6個交點,10條直線相交,最多有( 。﹤交點.
A. 45 B. 42 C. 40 D. 36
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一條長為60cm的卷尺鋪平后沿著圖中箭頭的方向折疊,使得卷尺自身的一部分重合,然后在重合部分沿與卷尺的邊垂直的方向剪一刀,此時卷尺分為了三段,若這三段長度比為1:2:3,則折痕對應(yīng)的刻度可能的值有 ________.
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