Question

如果有理數(shù)m可以表示成2x²-6xy+5y²（其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m為“世博數(shù)”．
（1）兩個“世博數(shù)”a、b之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？
（2）證明：兩個“世博數(shù)”a、b（b≠0）之商也是“世博數(shù)”．

Answer 1

分析：先將有理數(shù)m=2x²-6xy+5y²變形為（x-2y）²+（x-y）²，可知“世博數(shù)”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數(shù)）．兩個“世博數(shù)”a、b，不妨設(shè)a=j²+k²，b=r²+s²，其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)．
（1）a、b之積為=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博數(shù)”；
（2）a、b（b≠0）之商=(

jr+ks

r2+s2

)2+(

js-kr

r2+s2

)2也是“世博數(shù)”．

解答：解：∵m=2x²-6xy+5y²=（x-2y）²+（x-y）²，其中x、y是有理數(shù)，
∴“世博數(shù)”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數(shù)），只須p=x-2y，q=x-y即可．（3分）
∴對于任意的兩個兩個“世博數(shù)”a、b，不妨設(shè)a=j²+k²，b=r²+s²，其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)，（3分）則
（1）ab=（j²+k²）（r²+s²）=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博數(shù)”；（3分）
（2）

a

b

=

j2+k2

r2+s2

=

(j2+k2)(r2+s2)

(r2+s2)2

(3分)=

(jr+ks)2+(js-kr)2

(r2+s2)2

=(

jr+ks

r2+s2

)2+(

js-kr

r2+s2

)2也是“世博數(shù)”．（3分）

點評：本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握“世博數(shù)”的概念是解題的關(guān)鍵，注意“世博數(shù)”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數(shù)）．