【題目】已知x軸上有點A(1,0),點By軸上,點C(m,0)為x軸上一動點且m<﹣1,連接AB,BC,tanABO=,以線段BC為直徑作⊙M交直線AB于點D,過點B作直線lAC,過A,B,C三點的拋物線為y=ax2+bx+c,直線l與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E,F(xiàn).

(1)求B點坐標(biāo);

(2)用含m的式子表示拋物線的對稱軸;

(3)線段EF的長是否為定值?如果是,求出EF的長;如果不是,說明理由.

(4)是否存在點C(m,0),使得BD=AB?若存在,求出此時m的值;若不存在,說明理由.

【答案】(1)B的坐標(biāo)為(0,2);(2)x=;(3)見解析;(4)﹣ 或﹣

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正切函數(shù)的定義及點A的坐標(biāo)求解;

(2)因為點C、A、B在拋物線上,故代入其坐標(biāo)列方程組求解即可;

(3)由二次函數(shù)的圖像的對稱性表示出EB的長,由圓的對稱性表示出FB的長,根據(jù)EF=FBEB求出EF的長,判斷是否為定值即可;

(4)連接CD.當(dāng)D在線段AB上時,因為BC為圓的直徑,所以BDC=90°,若BD=AB,可證明CA=CB,由此可求得m的值;當(dāng)交點DAB的延長線上時,由AOB∽△ADC列方程求解.

解:(1)tanABO=,且A(1,0),

OB=2,即:點B的坐標(biāo)為(0,2).

(2)點C(m,0),A(1,0),B(0,2)在拋物線y=ax2+bx+c

解之得:b=﹣,a=,

x=﹣=

即:拋物線的對稱軸為x=

(3)EB=﹣(1+m),F(xiàn)B=﹣m,EF=FB﹣EB=1,

∴線段EF的長是定值.

(4)①當(dāng)D在線段AB上時,如下圖所示:連接CD

BC是⊙M的直徑,

∴∠CDB=90°,

∵若BD=AB,即BD=DA

則易證CB=CA

=1﹣m

解之得m=﹣,

即:存在一點C(﹣,0),使得BD=AB.

②如圖2中,當(dāng)交點DAB的延長線上時,

∵△AOB∽△ADC,

=,

=,

解得m=﹣,

∴存在一點C(﹣,0),使得BD=AB.

綜上所述,滿足條件的m的值為﹣或﹣

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2)如圖2,GBC中點,且α90°,求證:GD′=E′D;

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CE′=2

RtBCE′中,BE′=,

BE=EA=2,

EE′重合,

∵四邊形ABCD是菱形,

BD垂直平分AC,

A、C關(guān)于BD對稱,

∴當(dāng)PP′重合時,P′A+P′E的值最小,最小值為CE的長=2,

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