Question

【題目】如圖，拋物線l：y=﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），其頂點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)或邊上，已知點(diǎn)A（1，2），B（1，1），C（2，1）．

（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)_____________；

（2）若l經(jīng)過點(diǎn)B，C，求l的解析式；

（3）設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)l的頂點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，求線段MN的值；當(dāng)頂點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)或邊上時，直接寫出線段MN的取值范圍；

（4）若l經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)，直接寫出所有符合條件的c的值．

Answer 1

【答案】（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；（2）y=﹣x2+3x﹣1；（3）2≤MN≤；（4）所有符合條件的c的值為﹣1，1，﹣2．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)越大，與x軸交點(diǎn)的線段越長，根據(jù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)越小，與x軸交點(diǎn)的線段越短，可得答案；

（4）根據(jù)待定系數(shù)法，可得c的值，要分類討論，以防遺漏．

試題解析：解：（1）由正方形ABCD內(nèi)或邊上，已知點(diǎn)A（1，2），B（1，1），C（2，1），得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得：，解得：

所以二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+3x﹣1；

（3）由此時頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），得：拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+2

把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+2=0

解得：x1=2﹣，x2=2+，即N（2+，0），M（2﹣，0），所以MN=2+﹣（2﹣）=2．

點(diǎn)E的坐標(biāo)為B（1，1），得：拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1

把y=0代入得：﹣（x﹣1）2+1=0

解得：x1=0，x2=2，即N（2，0），M（0，0），所以MN=2﹣0=2．

點(diǎn)E在線段AD上時，MN最大，點(diǎn)E在線段BC上時，MN最小；

當(dāng)頂點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)或邊上時，2≤MN≤2；

（4）當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B，C時，二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+3x﹣1，c=﹣1；

當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A、D時，E點(diǎn)不在正方形ABCD內(nèi)或邊上，故排除；

當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B、D時，，解得：，即c=﹣2；

當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A、C時，，解得，即c=1；

綜上所述：l經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)，所有符合條件的c的值為﹣1，1，﹣2．