Question

【題目】如圖，ABC中，AB=AC=4，cosC=．

（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O，并標(biāo)出⊙O與AB的交點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．

（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圓中，求證： ；

（3）求△BDE的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）△BDE的周長(zhǎng)為8+．

【解析】試題分析：做AC的中垂線(xiàn)得出圓心的位置；（2）連接AE，根據(jù)直徑的性質(zhì)得出∠AEC=∠AEB=90°，根據(jù)AB=AC得出∠BAE=∠CAE，從而得出∠CAE=∠BAE，得出弧相等；（3）根據(jù)Rt△ACE的三角形函數(shù)得出CE的長(zhǎng)度，根據(jù)（2）得出BE=CE=DE=4，根據(jù)Rt△BCD中∠B的三角函數(shù)得出BC和BD的長(zhǎng)度，從而得出三角形周長(zhǎng)．

試題解析：（1）如圖1，⊙O為所求．

（2）證明：如圖，連接AE， ∵AC為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，∴∠BAE =∠CAE， ∴．

（3）解：如圖在Rt△ACE中，

， ，∴．

∵AB= AC，∠AEC=90°，∴∠B =∠ACB，BE= CE=4． 又 ，∴DE= CE=4．

在Rt△BCD中， ， ∵，BC=8，

∴，

∴的周長(zhǎng) ．