Question

【題目】如圖，直線y= -x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對稱軸為直線x=2．

（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）連結(jié)AC．請問在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）（2）y=x2-4x+3； （3）存在，.

【解析】

解：（1）∵直線y=-x+3與x軸相交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時，x=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
又∵拋物線過x軸上的A，B兩點(diǎn)，且對稱軸為x=2，
根據(jù)拋物線的對稱性，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）∵y=-x+3過點(diǎn)C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），

，解，得，

∴y=x2-4x+3．

（3）連接PB，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，得P（2，-1），
設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，

，

由點(diǎn)B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，

在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得，

假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

①當(dāng)時，△PBQ∽△ABC．
即

∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴Q1的坐標(biāo)是（0，0）．

②當(dāng)，△QBP∽△ABC．
即，

，

∵OB=3，

，

∴Q2的坐標(biāo)是.

∵∠PBQ=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBQ≠∠BAC．
∴點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn)，

能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．