Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1═（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，一次函數(shù)y2=mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′．

（1）設(shè)a=2，點(diǎn)B（4，2）在函數(shù)y1、y2的圖象上．

①分別求函數(shù)y1、y2的表達(dá)式；

②直接寫出使y1＞y2＞0成立的x的范圍；

（2）如圖①，設(shè)函數(shù)y1、y2的圖象相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3a，△AA'B的面積為16，求k的值；

（3）設(shè)m=，如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，與函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)D，以AD為一邊向右側(cè)作正方形ADEF，試說(shuō)明函數(shù)y2的圖象與線段EF的交點(diǎn)P一定在函數(shù)y1的圖象上．

Answer 1

【答案】（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）證明見解析.

【解析】（1）由已知代入點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）面積問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為△AOB面積，用a、k表示面積問(wèn)題可解；

（3）設(shè)出點(diǎn)A、A′坐標(biāo)，依次表示AD、AF及點(diǎn)P坐標(biāo)．

（1）①由已知，點(diǎn)B（4，2）在y1═（x＞0）的圖象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），A′坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得，

，

解得，

∴y2=x﹣2；

②當(dāng)y1＞y2＞0時(shí)，y1=圖象在y2=x﹣2圖象上方，且兩函數(shù)圖象在x軸上方，

∴由圖象得：2＜x＜4；

（2）分別過(guò)點(diǎn)A、B作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，連BO，

∵O為AA′中點(diǎn)，

S△AOB=S△AOA′=8

∵點(diǎn)A、B在雙曲線上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四邊形ACDB=8

由已知點(diǎn)A、B坐標(biāo)都表示為（a，）（3a，）

∴，

解得k=6；

（3）由已知A（a，），則A′為（﹣a，﹣）.

把A′代入到y(tǒng)=，得：﹣，

∴n=，

∴A′B解析式為y=﹣.

當(dāng)x=a時(shí)，點(diǎn)D縱坐標(biāo)為，

∴AD=

∵AD=AF，

∴點(diǎn)F和點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為.

∴點(diǎn)P在y1═（x＞0）的圖象上.