Question

【題目】如圖1所示,將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,C分別在x,y軸的正半軸上,已知點(diǎn)B(4,2),將矩形OABC翻折,使得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P恰好落在線段OA(包括端點(diǎn)O,A)上,折痕所在直線分別交BC、OA于點(diǎn)D、E；若點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí),過點(diǎn)P作OA的垂線交折痕所在直線于點(diǎn)Q.

（1）求證：CQ=QP
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
（3）如圖2,連結(jié)OQ,OB,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)三角形OBQ的面積為S,當(dāng)x取何值時(shí),S取得最小值,并求出最小值；

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接CQ，

由已知易得CD=PD,

∠CDE=∠PDE,

∴ ∠CDQ=∠PDQ,

又DQ=DQ,

∴△CDQ≌△PDQ得CQ=PQ.

（2）

解：∵Q(x,y) ， CQ=PQ=y

設(shè)BC與PQ的交點(diǎn)為M，則QM=y-2,CG=x

由勾股定理，得

x2+(y-2)2=y2，

則y=+1(0<x<4).

（3）

解：設(shè)直線OB與直線PQ相交于點(diǎn)G(x，y')，

因?yàn)锽（4,2），所以直線OB為y=，

因?yàn)辄c(diǎn)G在直線OB上，則y'=，

則QG=x2+1-x

則S=×4（x2-x+1）=x2-x+2，

當(dāng)x=1時(shí)，S的最小值為.

【解析】（1）連接CQ，由折疊的性質(zhì)易得CD=PD,，∠CDE=∠PDE,則∠CDQ=∠PDQ，又DQ=DQ,可得△CDQ≌△PDQ得CQ=PQ；
（2）CQ=PQ=y，在直角三角形CQM中，QM2+CM2=CQ2 ， 可解得y與x的關(guān)系；
（3）點(diǎn)G與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，由點(diǎn)G在OB上易得點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，可知QG的長，而S=S△OQG+S△BQG ， 可得到S與x的關(guān)系式，再求最值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，需要了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正確答案．