Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（6，0），（6，8）．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)（直接寫出答案）；
（2）設(shè)y=S_{四邊形OMPC}，求y的最小值，并求此時(shí)x的值；
（3）是否存在x的值，使以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出AC的解析式，求出CN的長(zhǎng)度表達(dá)式即為P點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入解析式即可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式；
（2）求出AM的長(zhǎng)度表達(dá)式，根據(jù)三角形的面積公式求出△AMP的面積表達(dá)式，用△ACO的面積減去△AMP的面積表達(dá)式即為S_{四邊形OMPC}，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求法解答；
（3）先假設(shè)以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，若能求出x，則存在；否則不存在．
解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（6，0），（6，8），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），
設(shè)AC的解析式為y=kx+b，
將A（6，0），C（0，8）代入y=kx+b得，
，
解得，
則函數(shù)解析式為y=-x+8，
∵CN=6-x，
∴y_P=-（6-x）+8=x，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（6-x，x）．

（2）∵AM=AO-OM=6-x，
∴S_△AMP=×（6-x）×t=-x²+4x，
∴y=S_{四邊形OMPC}
=S_△AOC-S_△AMP
=×6×8-（-x²+4x）
=x²-4x+24
=（x-3）²+18，
當(dāng)x=3時(shí)，y的最小值為18．

（3）存在．
在△ACB中，PN∥AB，
則=，
即=，
解得AP=x，
又∵AM=6-x，
則有：①△AMP∽△AOC時(shí)，=，即=，解得x=3秒；
②△APM∽△AOC時(shí)，，即=，解得x=秒．
綜上所述，當(dāng)x=3秒或x=秒時(shí)以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題與相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，逐步解答，充分利用前一問題的結(jié)論是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意分類討論．