Question

【題目】如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，點(diǎn)E在AB上，F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn)，連接CE、FE．

（1）若AD=3，BE=4，求EF的長(zhǎng)；

（2）求證：CE=EF；

（3）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問(wèn)（2）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF =2.5；（2）證明見(jiàn)解析；（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是直角邊的 倍，得到DE=3由于BE=4，利用勾股定理，得BD=5，再利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得以解決；

（2）連接CF,需要證明 是等腰直角三角形，根據(jù)四點(diǎn)共圓，得到點(diǎn)F是四邊形DCBE的外接圓，且F是圓心,根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，得 從而 ，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得 ，得證 是等腰直角三角形，結(jié)論得證；

（3）連接CF，延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G，利用ASA證明△EDF≌△GBF，得出EF=GF，BG=DE=AE，進(jìn)而證明CE=CG,得出△CEF為等腰直角三角形，利用三線合一證明 結(jié)論得證。

試題解析：

（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3，

∴AE=DE=3，

在Rt△BDE中，

∵DE=3，BE=4，

∴BD=5，

又∵F是線段BD的中點(diǎn)，

∴EF=BD=2.5；

（2）連接CF，線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE；

∵∠AED=∠ACB=90°

∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓

且BD是該圓的直徑，

∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F是圓心，

∴EF=CF=FD=FB，

∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，

由圓周角定理得：∠DCE=∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°

∴∠ECF=45°=∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE=EF．

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．

如圖，連接CF，延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G，

∵∠ACB=∠AED=90°，

∴DE∥BC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EDF和△GBF中，

，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF=GF，BG=DE=AE，

∵AC=BC，

∴CE=CG，

∴∠EFC=90°，CF=EF，

∴△CEF為等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∴CE=FE；