Question

設(shè)a是正整數(shù)，如果二次函數(shù)y=2x²+（2a+23）x+10-7a和反比例函數(shù)y=

11-3a

x

的圖象有公共整點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點），求a的值和對應(yīng)的公共整點．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)y=2x²+（2a+23）x+10-7a和反比例函數(shù)y=

11-3a

x

的圖象有公共整點，可以判斷出△=（a+18）²-224是一個完全平方數(shù)．將原式分解后可得（a+18+k）（a+18-k）=224，從而判斷出a+18+k與a+18-k的奇偶性相同，將224分解成兩個奇偶性相同的數(shù)的積，與a+18+k和a+18-k對應(yīng)相等，列出方程組即可．

解答：解：聯(lián)立方程組

y=2x2+(2a+23)x+10-7a y= 11-3a x

，
消去y得2x²+（2a+23）x+10-7a=

11-3a

x

，即2x³+（2a+23）x²+（10-7a）x+3a-11=0，
分解因式得（2x-1）[x²+（a+12）x+11-3a]=0（1）
如果兩個函數(shù)的圖象有公共整點，則方程（1）必有整數(shù)根，
從而關(guān)于x的一元二次方程x²+（a+12）x+11-3a=0（2）必有整數(shù)根，
所以一元二次方程（2）的判別式△應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，
而△=（a+12）²-4（11-3a）=a²+36a+100=（a+18）²-224．
所以（a+18）²-224應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，
設(shè)（a+18）²-224=k²（其中k為非負(fù)整數(shù)），則（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
顯然a+18+k與a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以

a+18+k=112 a+18-k=2

或

a+18+k=56 a+18-k=4

或

a+18+k=28 a+18-k=8

解得

a=39 k=55

或

a=12 k=26

或

a=0 k=10

．
而a是正整數(shù)，所以只可能

a=39 k=55

或

a=12 k=26.

當(dāng)a=39時，方程（2）即x²+51x-106=0，它的兩根分別為2和-53，易求得兩個函數(shù)的圖象有公共整點（2，-53）和（-53，2）．
當(dāng)a=12時，方程（2）即x²+24x-25=0，它的兩根分別為1和-25，易求得兩個函數(shù)的圖象有公共整點（1，-25）和（-25，1）．

點評：此題考查了和整數(shù)相關(guān)的函數(shù)．此題需要進行邏輯推理，給出的思維空間很小，需要很高的數(shù)學(xué)水平才能順利解答．