【題目】如圖,直線軸于A點,交軸于B點,過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C3,0.

求拋物線的解析式;

在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1)此拋物線的解析式為y=-x+1)(x-3=-x2+2x+3;

2Q點坐標(biāo)為(11),(10),(1),(1,﹣).

【解析】

(1)根據(jù)直線的解析式y=3x+3,當(dāng)x=0y=0時就可以求出點A、B的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;
(2)將拋物線化為頂點式,求出對稱軸對稱軸,設(shè)出Q點的坐標(biāo),利用等腰三角形的性質(zhì),根據(jù)兩點間的距離公式就可以求出Q點的坐標(biāo).

(1)y=3x+3

∴當(dāng)x=0時,y=3,當(dāng)y=0時,x=1,

A(﹣10),B0,3).

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,由題意,得

解得

∴拋物線的解析式為:y=x2+2x+3

(2)y=x2+2x+3,

y=﹣(x12+4

∴拋物線的對稱軸為x=1,設(shè)Q1,a),

①當(dāng)AQ=BQ時,如圖,

由勾股定理可得

BQ=,

AQ=

,

解得a=1,

Q1,1);

②如圖:

當(dāng)AB是腰時,Q是對稱軸與x軸交點時,AB=BQ,

解得:a=06,

當(dāng)Q點的坐標(biāo)為(16)時,其在直線AB上,ABQ三點共線,舍去,

則此時Q的坐標(biāo)是(1,0);

③當(dāng)AQ=AB時,如圖:

,解得a=±,則Q的坐標(biāo)是(1)和(1,).

綜上所述:Q點坐標(biāo)為(11),(10),(1),(1,﹣).

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-1

0

1

3

y

-3

1

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1

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