Question

【題目】如圖1，與都是等腰直角三角形，直角邊，在同一條直線上，點(diǎn)、分別是斜邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，，，．

（1）觀察猜想：

圖1中，與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．

（2）探究證明：

將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到圖2，與、分別交于點(diǎn)、，判斷的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸：

把繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）的形狀為等腰直角三角形，理由見解析；（3）的面積的最大值為．

【解析】

（1）延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)H，易證ΔACE≌ΔBCD，得AE=BD，∠CAE=∠CBD，進(jìn)而得∠BHA=90°，結(jié)合中位線的性質(zhì)，得PM=BD，PM//BD，PN=AE， PN//AE，進(jìn)而得PM=PN，PM⊥PN；

（2）設(shè)AE交BC于⊙O，易證ΔACE≌ΔBCD，得AE=BD，∠CAE=∠CBD，進(jìn)而得∠BHA=90°，結(jié)合中位線的性質(zhì)，得PM=BD，PM//BD，PN=AE， PN//AE，進(jìn)而得PM=PN，PM⊥PN；

（3）易證ΔPMN是等腰直角三角形，PM=BD，當(dāng)B、C、D共線時(shí)，BD的值最大，進(jìn)而求解．

解：（1）如圖1，

延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)H，

∵ΔACB和ΔECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，

∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∴ΔACE≌ΔBCD（SAS），

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，

又∵∠AEC=∠BEH，

∴∠BHA=∠ACE=90°，

∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，

∴PM=BD，PM//BD，PN=AE，PN//AE，

∴PM=PN，

∴PM⊥AH，

∴PM⊥PN．

（2）如圖中，設(shè)交于．

∵和是等腰直角三角形，

∴，，

∴

∴.∴

∴，

又∵，，∴

∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，∴，；

，.∴

∴

∴

∴

∴

（3）的面積的最大值為．

由（2）可知是等腰直角三角形，，

∴當(dāng)的值最大時(shí)，的值最大，的面積最大，

∴當(dāng)、、共線時(shí)，的最大值，∴，

∴的面積的最大值．