Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AC=80，BD=60．動(dòng)點(diǎn)M，N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A，D同時(shí)出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求菱形ABCD的周長(zhǎng)．
（2）設(shè)△DMN的面積為S，求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分兩種情況討論）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在菱形ABCD中，

∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AC=80，BD=60，

∴OA=40，OD=30，

∵AC⊥BD，

∴AD= =50．

∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為200

（2）

解：過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AD，垂足為點(diǎn)P．

①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，如圖1，

∵ ，

∴MP=AMsin∠OAD= ．

∴ ．

∵S隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480；

②當(dāng)40＜t≤50時(shí)，如圖2，

∴MD=80﹣t．

∵ ，

∴MP= ．

∴ = = = +490．

∵S隨t的增大而減小，

∴當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480．

綜上所述，S的最大值為480

【解析】（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)，求出菱形的周長(zhǎng)；（2）在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，如答圖1所示，②當(dāng)40＜t≤50時(shí)，如答圖2所示．分別求出S的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．