Question

問題探究
（1）如圖1，△ABC是鈍角三角形，∠C＞90°請(qǐng)?jiān)趫D1中，將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上．
（2）如圖2，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=12，BC=5．請(qǐng)?jiān)趫D2中，將△ABC補(bǔ)成矩形，使得△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，畫出所有符合條件的矩形，并求此矩形的面積．
問題解決
（3）李大爺現(xiàn)有一個(gè)銳角三角形ABC（AB＞AC＞BC）形的魚塘（如圖3），魚塘三個(gè)角的頂點(diǎn)A、B、C上各有一棵大樹．現(xiàn)在李大爺想把原來的魚塘擴(kuò)建成一個(gè)矩形魚塘（原魚塘周圍的面積足夠大），并還想：三棵大樹A、B、C中的兩個(gè)為矩形魚塘一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三棵樹落在魚塘這一邊的對(duì)邊上．請(qǐng)你在圖3中，畫出所有符合條件的矩形魚塘的示意圖，并指出哪一個(gè)的周長(zhǎng)最��？說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤螩＞90°，所以，以AB為矩形的邊，過點(diǎn)C作AB的平行線EF，再分別過點(diǎn)A、B作AB的垂線與E、F分別相交于點(diǎn)F、E，四邊形ABEF即為所求作的矩形；
（2）以AB為矩形的邊，作法同（1），利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)三角形的面積求出AB邊上的高，然后根據(jù)矩形的面積列式計(jì)算即可得解；以AC、BC為矩形的鄰邊，過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B作AC的平行線，相交于點(diǎn)D，矩形的面積等于AC•BC；
（3）分別以AB、BC、AC為矩形的一邊，另一頂點(diǎn)在對(duì)邊上，作出相應(yīng)的矩形即可，設(shè)△ABC的面積為S，根據(jù)三角形的面積表示出各邊上的高，然后表示出三個(gè)矩形的周長(zhǎng)，再根據(jù)AB＞AC＞BC，兩個(gè)矩形的周長(zhǎng)作差，整理并判斷出大小，即可得解．

解答：解：（1）△ABC補(bǔ)成矩形ABEF如圖所示；


（2）如圖所示，共可以作出兩個(gè)矩形，

以AB為矩形的邊：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=

AC2+BC2

=

122+52

=13，
設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，
則S_△ABC=

1

2

AB•h=

1

2

AC•BC，
即

1

2

×13h=

1

2

×12×5，
解得h=

60

13

，
所以，矩形ABEF的面積=13×

60

13

=60，
以AC為邊，點(diǎn)B在對(duì)邊BD上，以BC為邊，點(diǎn)A在對(duì)邊AD上，
此時(shí)矩形ADBC的面積=AC•BC=12×5=60；

（3）分別以AB、BC、AC為矩形的一邊，另一頂點(diǎn)在矩形的對(duì)邊上，如圖所示；

設(shè)△ABC的面積為S，則AB邊上的高為

2S

AB

，BC邊上的高為

2S

BC

，AC邊上的高為

2S

AC

，
所以，三個(gè)矩形的周長(zhǎng)分別為2（AB+

2S

AB

），2（BC+

2S

BC

），2（AC+

2S

AC

），
2（AB+

2S

AB

）-2（BC+

2S

BC

）
=2（AB-BC）+（

4S

AB

-

4S

BC

）
=2（AB-BC）-

4S•(AB-BC)

AB•BC

=2（AB-BC）•（1-

2S

AB•BC

），
∵△ABC是銳角三角形，
∴

1

2

AB•BC＞S，
∴AB•BC＞2S，
∴1-

2S

AB•BC

＞0，
因此，銳角△ABC的邊越長(zhǎng)，以此邊為矩形的邊作出的矩形的周長(zhǎng)越大，
∵AB＞AC＞BC，
∴以BC邊為矩形的邊所作的矩形的周長(zhǎng)最小．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形的綜合題型，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，讀懂題目信息，理解矩形的作法與要求是解題的關(guān)鍵，（3）利用作差法求出兩個(gè)矩形的周長(zhǎng)的差的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．