Question

已知拋物線y1=x2+2(1-m)x+n經(jīng)過點(diǎn)（-1，3m+

1

2

）．
（1）求n-m的值；
（2）若此拋物線的頂點(diǎn)為（p，q），用含m的式子分別表示p和q，并求q與p之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若一次函數(shù)y2=-2mx-

1

8

，且對于任意的實(shí)數(shù)x，都有y₁≥2y₂，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式中，整理后即可求出n-m的值；
（2）由（1）得到的n-m的值，用m表示出n，代入拋物線解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，表示出p與q，找出p與q的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）根據(jù)y₁≥2y₂列出不等式，整理后得到根的判別式小于等于0，即可求出m的范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y₁=x²+2（1-m）x+n經(jīng)過點(diǎn)（-1，3m+

1

2

），
∴3m+

1

2

=（-1）²+2（1-m）×（-1）+n=1-2+2m+n，
則n-m=

3

2

；

（2）∵n-m=

3

2

，即n=m+

3

2

，
∴y₁=x²+2（1-m）x+m+

3

2

，
∴p=-

b

2a

=m-1，
將p=m-1代入得：q=-m²+3m+

1

2

，
∵m=p+1，
∴q=-（p+1）²+3（p+1）+

1

2

，
則q=-p²+p+

5

2

；

（3）∵y₁=x²+2（1-m）x+m+

3

2

，y₂=-2mx-

1

8

，
∴代入y₁≥2y₂，得：x²+2（1-m）x+m+

3

2

≥2（-2mx-

1

8

），
整理得：x²+2（1+m）x+m+

7

4

≥0，
由題意得到：△=4（1+m）²-4（m+

7

4

）=4m²+4m-3≤0，
即（2m-1）（2m+3）≤0，
解得：-

3

2

≤m≤

1

2

，
當(dāng)m=0時，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足題意，
則m的范圍為-

3

2

≤m≤

1

2

且m≠0．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根的判別式，不等式的解法，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用了消元及函數(shù)的思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．