Question

【題目】如圖，已知直線與兩坐標軸分別交于A、B兩點，拋物線 經(jīng)過點A、B，點P為直線AB上的一個動點，過P作y軸的平行線與拋物線交于C點, 拋物線與x軸另一個交點為D．

（1）求圖中拋物線的解析式；

（2）當點P在線段AB上運動時，求線段PC的長度的最大值；

（3）在直線AB上是否存在點P，使得以O、A、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時點P 的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，線段PC有最大值是2；（3），，

【解析】

把x=0，y=0分別代入解析式可求點A，點B坐標，由待定系數(shù)法可求解析式；

設點C,可求PC,由二次函數(shù)的性質可求解；

設點P的坐標為(x,x+2)，則點C，分三種情況討論，由平行四邊形的性質可出點P的坐標．

解：(1)可求得 A（0,2 ），B(4,0 )

∵拋物線經(jīng)過點A和點B

∴把(0,2),(4,0)分別代入得：

解得：

∴拋物線的解析式為.

（2）設點P的坐標為(x,x+2)，則C（）

∵點P在線段AB上

∴

∴當時，線段PC有最大值是2

（3）設點P的坐標為(x,x+2)，

∵PC⊥x軸，

∴點C的橫坐標為x，又點C在拋物線上，

∴點C(x,)

①當點P在第一象限時，假設存在這樣的點P，使四邊形AOPC為平行四邊形，

則OA=PC=2,即，

化簡得：，

解得x1=x2=2把x=2代入

則點P的坐標為(2,1)

②當點P在第二象限時，假設存在這樣的點P，使四邊形AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2,即，

化簡得：，

解得：

把，

則點P的坐標為;

③當點P在第四象限時，假設存在這樣的點P，使四邊形AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2,即，

化簡得：，

解得：

把

則點P的坐標為

綜上，使以O、A.P、C為頂點的四邊形是平行四邊形，

滿足的點P的坐標為.