Question

在一次數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課上，有下面的一段對(duì)話，請(qǐng)你閱讀完后再解答問(wèn)題．
老師：同學(xué)們，今天我們來(lái)探索如下方程的解法：(

x

x-1

)2-4(

x

x-1

)+4=0．
學(xué)生甲：老師，原方程可整理為

x2

(x-1)2

-

4x

x-1

+4=0，再去分母，行得通嗎？
老師：很好，當(dāng)然可以這樣做．
再仔細(xì)觀察，看看這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？還可以怎樣解答？
學(xué)生乙：老師，我發(fā)現(xiàn)

x

x-1

是整體出現(xiàn)的！
老師：很好，我們把

x

x-1

看成一個(gè)整體，用y表示，即可設(shè)

x

x-1

=y，那么原方程就變?yōu)閥²-4y+4=0．
全體學(xué)生：噢，等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式？！方程可以變形成（y-2）²=0
老師：大家真會(huì)觀察和思考，太棒了！顯然y²-4y+4=0的根是y=2，那么就有

x

x-1

=2
學(xué)生丙：對(duì)啦，再解這兩個(gè)方程，可得原方程的根x=2，再驗(yàn)根就可以了！
老師：同學(xué)們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉(zhuǎn)化方法．
全體同學(xué)：OK，換元法真神奇！
現(xiàn)在，請(qǐng)你用換元法解下列分式方程（組）：
（1）(

2x

x-1

)2-

4x

x-1

+1=0
（2）

6 x-y + 4 x+y =3 9 x-y - 1 x+y =1

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

2x

x-1

=y，方程化為關(guān)于y的方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，即為

2x

x-1

的值，求出x的值，檢驗(yàn)即可；
（2）設(shè)

1

x-y

=u，

1

x+y

=v，方程組化為關(guān)于u與v的方程組，求出方程組的解得到u與v的值，即為

1

x-y

與

1

x+y

的值，進(jìn)而求出x與y的值，檢驗(yàn)即可．

解答：（1）解：設(shè)

2x

x-1

=y，則原方程變形為：y²-2y+1=0，即（y-1）²=0，
解得：y=1，即

2x

x-1

=1，即2x=x-1，
解得：x=-1，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=-1是原方程的解；

（2）解：設(shè)

1

x-y

=u，

1

x+y

=v，
則原方程組化為：

6u+4v=3 9u-v=1

，
解得：

u= 1 6 v= 1 2

，即

1 x-y = 1 6 1 x+y = 1 2

，
整理得：

x+y=2 x-y=6

，
解得：

x=4 y=-2

，
經(jīng)檢驗(yàn)，

x=4 y=-2

是原方程組的解．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡(jiǎn)單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，注意求出方程解后要驗(yàn)根．