Question

（2012•石景山區(qū)二模）閱讀下面材料：
小陽遇到這樣一個問題：如圖（1），O為等邊△ABC內(nèi)部一點，且OA：OB：OC=1：

2

：

3

，求∠AOB的度數(shù)．

小陽是這樣思考的：圖（1）中有一個等邊三角形，若將圖形中一部分繞著等邊三角形的某個頂點旋轉(zhuǎn)60°，會得到新的等邊三角形，且能達到轉(zhuǎn)移線段的目的．他的作法是：如圖（2），把△ACO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點C與點B重合，得到△ABO′，連接OO′．則△AOO′是等邊三角形，故OO′=OA，至此，通過旋轉(zhuǎn)將線段OA、OB、OC轉(zhuǎn)移到同一個三角形OO′B中．
（1）請你回答：∠AOB=

150

°．
（2）參考小陽思考問題的方法，解決下列問題：
已知：如圖（3），四邊形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）利用△AOO′是等邊三角形，得出∠AOO′=60°，再利用已知得出OO′²+BO²=OC²，即可求出∠BOO′=90°，即可得出答案；
（2）首先將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點D與點B重合，得到△ABO，連接CO，進而求出△ACO是等邊三角形，再由S_{四邊形ABCD}=S_△ACO-S_△BCO，求出即可．

解答：解：（1）∵△AOO′是等邊三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵OA：OB：OC=1：

2

：

3

，
∴設(shè)OA=x，則OB=

2

x，OC=

3

x，
∵CO=O′B，OO′=AO，
∴OO′²+BO²=x²+（

2

x）²=3x²，
OC²=3x²，
∴OO′²+BO²=OC²，
∴△BOO′是直角三角形，
∴∠BOO′=90°，
∴∠AOB=∠BOO′+∠AOO′=90°+60°=150°．
故答案為：150°；

（2）如圖，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點D與點B重合，
得到△ABO，連接CO．
∵AC=AO，∠CAO=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
可知CO=CA=5，BO=DC=4，∠ABO=∠ADC，
在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，
∴∠OBC=360°-（∠ABC+∠ABO）=360°-270°=90°．
∴BC=

52-42

=3，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACO-S_△BCO
=

1

2

×5sin60°×5-

1

2

×3×4
=

25 3

4

-6．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理和等邊三角形的判定以及四邊形、三角形面積求法等知識，得出∠OBC等于90°是解題關(guān)鍵．