【題目】定義:每個內(nèi)角都相等的八邊形叫做等角八邊形.容易知道,等角八邊形的內(nèi)角都等于135°.下面,我們來研究它的一些性質與判定:
(1)如圖1,等角八邊形ABCDEFGH中,連結BF.
①請直接寫出∠ABF+∠GFB的度數(shù).
②求證:AB∥EF.
③我們把AB與EF稱為八邊形的一組正對邊.由②同理可得:BC與FG,CD與GH,DE與HA這三組正對邊也分別平行.請模仿平行四邊形性質的學習經(jīng)驗,用一句話概括等角八邊形的這一性質.
(2)如圖2,等角八邊形ABCDEFGH中,如果有AB=EF,BC=FG,則其余兩組正對邊CD與GH,DE與HA分別相等嗎?證明你的結論.
(3)如圖3,八邊形ABCDEFGH中,若四組正對邊分別平行,則顯然有∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G,∠D=∠H.請?zhí)骄浚涸摪诉呅沃辽傩枰阎獛讉內(nèi)角為135°,才能保證它一定是等角八邊形?
【答案】(1)①∠ABF+∠GFB=135°;②詳見解析;③等角八邊形的每一組正對邊平行;(2)CD=GH,DE=HA,詳見解析;(3)結論:至少需要已知5個內(nèi)角為135°
【解析】
(1)①由等角八邊形的概念可得它的每個內(nèi)角均為135°,五邊形BAHGF的內(nèi)角和為540°,減去(∠A+∠H+∠G),即可求得結論;
②根據(jù)“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”即可證明;
③根據(jù)題目提供的信息,總結出結論即可;
(2)分別證明四邊形ABEF是平行四邊形,△AFG≌△EBC,△AGH≌△ECD即可得到結論;
(3)若4個內(nèi)角等于135°,則每個內(nèi)角不一定都為135°,若5個內(nèi)角等于135°,其余各角的度數(shù)也是135°.
(1)①五邊形BAHGF的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°
∵∠A=∠H=∠G=
∴∠ABF+∠GFB=540°-(∠A+∠H+∠G)=135°
即∠ABF+∠GFB=135°.
②∵∠1+∠4=135°,∠GFE=∠3+∠4=135°,
∴∠1=∠3,
∴AB∥EF.
③等角八邊形的每一組正對邊平行.
(2)如圖2,連結AF,BE,AG,CE,由①得:AB∥EF,
∵AB=EF,
∴四邊形ABEF是平行四邊形,
∴AF=BE,AF∥BE,
又∵BC∥FG,
∴∠AFG=∠EBC,
又∵BC=FG,
∴△AFG≌△EBC,
∴AG=EC,∠AGF=∠ECB,
∵∠HGF=∠BCD=135°,
∴∠AGH=∠ECD,
又∵∠H=∠D=135°,
∴△AGH≌△ECD,
∴CD=GH,DE=HA.
(3)結論:至少需要已知5個內(nèi)角為135°.
①若4個內(nèi)角等于135°,則每個內(nèi)角不一定都為135°,
如圖4,八邊形ABCMNFPH不是等角八邊形;
②若5個內(nèi)角等于135°:
∵∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G,∠D=∠H.
∴這八個角中,不論已知哪5個角是135°,都可以推導出其余的內(nèi)角也是135°.
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【題目】某次臺風來襲時,一棵筆直大樹樹干AB(假定樹干AB垂直于水平地面)被刮傾斜7°(即∠BAB′=7°)后折斷倒在地上,樹的頂部恰好接觸到地面D處,測得∠CDA=37°,AD=5米,求這棵大樹AB的高度.(結果保留根號)(參考數(shù)據(jù):sin37≈0.6,cos37=0.8,tan37≈0.75)
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,且AD=AC,DE⊥BC,DE與AB相交于點E,EC與AD相交于點F.
(1)求證:△ABC∽△FCD;
(2)過點A作AM⊥BC于點M,求DE:AM的值;
(3)若S△FCD=5,BC=10,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)交x軸于A,B兩點(A在B的左側),交y軸于點C,拋物線的頂點為P,過點B作BC的垂線交拋物線于點D.
(1)若點P的坐標為(-4,-1),點C的坐標為(0,3),求拋物線的表達式;
(2)在(1)的條件下,求點A到直線BD的距離;
(3)連接DC,若點P的坐標為(-,-),DC∥x軸,則在x軸上方的拋物線上是否存在點M,使∠AMB=∠BDC?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,等邊△ABC中,AB=2,點D是以A為圓心,半徑為1的圓上一動點,連接CD,取CD的中點E,連接BE,則線段BE的最大值與最小值之和為____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,有一個等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°,直角邊AO在x軸上,且AO=1.將Rt△AOB繞原點O順時針旋90°轉得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再將Rt△A1OB1繞原點O順時針旋轉90°得到等腰直角三角形A2OB2,且A2O=2A1O,…,依此規(guī)律,得到等腰直角三角形A2020OB2020,則點B2020的坐標為_____.
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【題目】如圖,動點A在拋物線y=-x2+2x+3(0≤x≤3)上運動,直線l經(jīng)過點(0,6),且與y軸垂直,過點A作AC⊥l于點C,以AC為對角線作矩形ABCD,則另一對角線BD的取值范圍正確的是( 。
A.2≤BD≤3B.3≤BD≤6C.1≤BD≤6D.2≤BD≤6
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【題目】如圖,E、F兩點分別在平行四邊形ABCD的邊CD、AD上,AE=CF,AE、CF相交于點O.
(1)用尺規(guī)作出∠AOC的角平分線OM(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)求證:OM一定經(jīng)過B點.
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【題目】每到春夏交替時節(jié),雌性楊樹會以滿天飛絮的方式來傳播下一代,漫天飛舞的楊絮易引發(fā)皮膚病、呼吸道疾病等,給人們造成困擾,為了解市民對治理楊絮方法的贊同情況,某課題小組隨機調(diào)查了部分市民(問卷調(diào)查表如表所示),并根據(jù)調(diào)查結果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上統(tǒng)計圖,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的市民共有 人;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,扇形E的圓心角度數(shù)是 °;
(3)請補全條形統(tǒng)計圖;
(4)若該市約有90萬人,請估計贊同“選育無絮楊品種,并推廣種植”的人數(shù).
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