Question

（2002•南京）已知：關(guān)于x的方程x²-kx-2=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，如果2（x₁+x₂）＞x₁x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需證明△＞0即可．
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分別求出兩根之和與兩根之積，根據(jù)2（x₁+x₂）＞x₁x₂，代入即可得到關(guān)于k的不等式，從而求得k的范圍．
解答：（1）證明：∵關(guān)于x的方程x²-kx-2=0中，△=（-k）²-4×（-2）=k²+8＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=k，x₁•x₂=-2，
代入不等式2（x₁+x₂）＞x₁x₂，得
2k＞-2，
k＞-1．
答：k的取值范圍是k＞-1．
點評：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根；
（4）若一元二次方程有實數(shù)根，則x₁+x₂=-，x₁x₂=．