Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn),,與軸交于另一點(diǎn),且對稱軸是直線.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若是上的一點(diǎn)，作交于,當(dāng)面積最大時(shí)，求的坐標(biāo)；

（3）是軸上的點(diǎn)，過作軸，與拋物線交于,過作軸于.當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與、、為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；（2）當(dāng)t=3時(shí)，S△AMN有最大值3，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

【解析】（1）先利用拋物線的對稱性確定B（6，0），然后設(shè)交點(diǎn)式求拋物線解析式；

（2）設(shè)M（t，0），先其求出直線OA的解析式為y=x，直線AB的解析式為y=2x﹣12，直線MN的解析式為y=2x﹣2t，再通過解方程組得N（t，t），接著利用三角形面積公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=4t﹣tt，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

（3）設(shè)Q（m，m2﹣m），根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)=時(shí)，△PQO∽△COA，則|m2﹣m|=2|m|；當(dāng)=時(shí)，△PQO∽△CAO，則|m2﹣m|=|m|，然后分別解關(guān)于m的絕對值方程可得到對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵拋物線過原點(diǎn)，對稱軸是直線x=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），

設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a82=4，解得a=，

∴拋物線解析式為y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；

（2）設(shè)M（t，0），

易得直線OA的解析式為y=x，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴設(shè)直線MN的解析式為y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直線MN的解析式為y=2x﹣2t，

解方程組得，則N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM

=4t﹣tt

=﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

當(dāng)t=3時(shí)，S△AMN有最大值3，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（3）設(shè)Q（m，m2﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴當(dāng)=時(shí)，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，28）；

解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，4）；

∴當(dāng)=時(shí)，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．