如圖,△OAB中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→O的方向以每秒
2
個(gè)單位勻速運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0,2)出發(fā),沿y軸正方精英家教網(wǎng)向以每秒2個(gè)單位勻速運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒.
(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)設(shè)△OPQ的面積為S(平方單位),求當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí),S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.
(3)當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→O的方向運(yùn)動時(shí),試問:是否存在點(diǎn)P使∠OPQ=90°?如果存在,請求出相應(yīng)的時(shí)間t;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)要求∠BAO的度數(shù),由點(diǎn)B、點(diǎn)A的坐標(biāo)很容易證明出△OAP是等腰直角三角形,故求出∠BAO的度數(shù).
(2)要表示出△OPQ的面積為S于時(shí)間t的關(guān)系式的關(guān)鍵是表示出OQ邊上的高,利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可以表示出來,最后利用三角形的面積公式列出等式就可以了.
(3)是一道分類討論試題,當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)存在滿足條件的P點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí),滿足條件的點(diǎn)不存在,利用三角形的三邊關(guān)系可以證明.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過B作BE⊥OA于E
∵B(2,2),則BE=OE=2
由勾股定理得:OB=2
2

∵A(4,0),∴AE=2
由勾股定理得,AB=2
2

∴OB=AB
∴△ABO為等腰三角形
∴OB2=8,AB2=8,OA2=16
∴OB2+AB2=OA2
∴△ABO是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°;

(2)過點(diǎn)P作PC⊥OA于點(diǎn)C,
∴PC=AC                
在Rt△PCA中,AP=
2
t由勾股定理得
AC2+PC2=AP2
∴AC=t
∴OC=4-t
∵OQ=2+2t
∴S=
1
2
(4-t)(2+2t)
即S=-t2+3t+4 (0≤t≤4);

(3)分類討論:
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動t秒時(shí),則∠OPQ=90°作PF⊥OA于F.精英家教網(wǎng)
∴∠OFP=90°
∴∠AOP+∠OPF=90°
∵∠AOP+∠QOP=90°
∴∠OPF=∠QOP
∴△PFO∽△OPQ
PF
OP
=
OP
QO

∵PA=
2
t
,∴PF=AF=t,OQ=2+2t
∴OF=4-t,由勾股定理得
OP=
t2+(4-t)2

∴t2+(4-t)2=t2+(2+2t)2
解得t=1.6.
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動t秒在OB上時(shí),則∠OPQ=90°則△OQP是等腰直角三角形.(t>2)
∴OP=PQ
∵OP<2
2

∴OP+PQ<4
2

∵OQ=2+2t  (t>2)
∴2+2t>4
2

∴兩邊之和小于第三邊,此三角形不存在.
綜上所述t=1.6.
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理逆定理的運(yùn)用以及等腰三角形的性質(zhì).還涉及到了三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用,是一道綜合性較強(qiáng)難度較大的試題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•河北)如圖,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°,以點(diǎn)O為圓心,6為半徑的優(yōu)弧
MN
分別交OA,OB于點(diǎn)M,N.
(1)點(diǎn)P在右半弧上(∠BOP是銳角),將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得OP′.求證:AP=BP′;
(2)點(diǎn)T在左半弧上,若AT與弧相切,求點(diǎn)T到OA的距離;
(3)設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧
MN
上,當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí),直接寫出∠BOQ的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,△OAB中,OA=OB,⊙O經(jīng)過AB的中點(diǎn)C,且與OA、OB分別交于點(diǎn)D、E.

(1)如圖①,判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;
(2)如圖②,連接CD、CE,當(dāng)△OAB滿足什么條件時(shí),四邊形ODCE為菱形,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

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(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)設(shè)△OPQ的面積為S(平方單位),求當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí),S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.
(3)當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→O的方向運(yùn)動時(shí),試問:是否存在點(diǎn)P使∠OPQ=90°?如果存在,請求出相應(yīng)的時(shí)間t;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2008年浙江省溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

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(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)設(shè)△OPQ的面積為S(平方單位),求當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時(shí),S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.
(3)當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→O的方向運(yùn)動時(shí),試問:是否存在點(diǎn)P使∠OPQ=90°?如果存在,請求出相應(yīng)的時(shí)間t;如果不存在,請說明理由.

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