Question

12．如圖，菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，E是CD的中點，在對角線AC有一動點P，在某個位置存在PD+PE的和最小，則這個最小值為4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 首先連接BE，過點E作EF⊥BC于點F，由四邊形ABCD是菱形，可得BE是PD+PE的和最小值，然后由菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，E是CD的中點，利用三角函數(shù)的知識即可求得CF與EF的長，再利用勾股定理求得BE的長．

解答 解：連接BE，過點E作EF⊥BC于點F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴點B，D關(guān)于AC對稱，
∴BE是PD+PE的和最小值，
∵菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，
∴BC=CD=AB=8，AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∵E是CD的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴CF=CE•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，EF=CF•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BF=BC+CF=10，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=4$\sqrt{7}$．
即這個最小值為4$\sqrt{7}$．
故答案為：4$\sqrt{7}$．

點評 此題考查了最短路徑問題、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．注意準確找到點P的位置是解此題的關(guān)鍵．