Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)?jiān)谥本�AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）y="3x+3" ，B的坐標(biāo)（3，0），D的坐標(biāo)為（1，4）
（2）（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）
（3）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

試題分析：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x²+2x+3=0，解得x₁=﹣1，x₂=3．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁（k₁≠0），則，解得，
∴直線AC的解析式為y=3x+3．

∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，　∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
（2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，
當(dāng)點(diǎn)Q在Q位置時(shí)，Q的縱坐標(biāo)為3，
代入拋物線可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3）；
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q位置時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣3，
代入拋物線可得點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1+，﹣3）；
當(dāng)點(diǎn)Q在Q位置時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)QQ3的坐標(biāo)為（1﹣，﹣3）；
綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
（3）過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥AC于點(diǎn)F，使B′F=BF，則B′為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對(duì)稱點(diǎn)．連接B′D交直線AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，
過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E．

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．
∴R t △AOC∽R(shí) t △AFB，∴，
∵OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．
∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得R t △AOC∽R(shí) t △B′EB，∴，∴，
即．∴B′E=，BE=，∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣，）．
設(shè)直線B′D的解析式為y=k₂x+b₂（k₂≠0）．∴，
解得，∴直線B'D的解析式為：y=x+，
聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：，解得，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：該題較為復(fù)雜，但是運(yùn)用的是常考的知識(shí)點(diǎn)，例如待定系數(shù)法，二次函數(shù)頂點(diǎn)式轉(zhuǎn)化，以及與幾何圖形結(jié)合等，要求學(xué)生熟練，掌握方法。