【題目】在數(shù)學(xué)探究課上,老師出示了這樣的探究問(wèn)題,請(qǐng)你一起來(lái)探究:
已知:C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),分別以AC,BC為邊,在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和BCD,聯(lián)結(jié)AD,BE交于點(diǎn)P.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí),線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是:

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外,且∠ACB<120°,上面的結(jié)論是否還成立?若成立請(qǐng)證明,不成立說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下,∠APE的大小是否隨著∠ACB的大小的變化而發(fā)生變化,若變化,寫(xiě)出變化規(guī)律,若不變,請(qǐng)求出∠APE的度數(shù).

【答案】
(1)解:AD=BE
(2)解:AD=BE成立.
證明:∵△ACE和△BCD是等邊三角形
∴EC=AC,BC=DC,
∠ACE=∠BCD=60°,
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB,即∠ECB=∠ACD;
在△ECB和△ACD中,

∴△ECB≌△ACD(SAS),
∴BE=AD
(3)解:∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化,始終是60°.
如圖2,設(shè)BE與AC交于Q,
由(2)可知△ECB≌△ACD,
∴∠BEC=∠DAC
又∵∠AQP=∠EQC,∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°,即∠APE=60°.
【解析】(1)∵△ACE、△CBD均為等邊三角形,
∴AC=EC,CD=CB,∠ACE=∠BCD,
∴∠ACD=∠ECB;
在△ACD與△ECB中,
,
∴△ACD≌△ECB(SAS),
∴AD=BE,
所以答案是AD=BE.

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