Question

10．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，△ABC外接圓⊙O的半徑為2.5，△ABC內(nèi)切圓⊙I的半徑為1．

Answer 1

分析 由勾股定理求出斜邊AB，直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半，即可得出△ABC外接圓⊙O的半徑．由切線長定理得出AE=AD，CE=CF，BD=BF；證出四邊形IECF是正方形，則列方程即可求得⊙I的半徑r．

解答 解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴△ABC外接圓的半徑為$\frac{1}{2}$AB=2.5；
連接△ABC內(nèi)切圓⊙I的圓心I和各個切點，如圖所示．
∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，
∴AE=AD，CE=CF，BD=BF，IE⊥AC，IF⊥BC，
∴∠IFC=∠IEC=∠C=90°，
∴四邊形IECF是矩形；
∵IE=IF，
∴四邊形IECF是正方形；
∵⊙I的半徑為r，
∴CE=CF=r，AE=AD=3-r，BD=BF=4-r，
∴3-r+4-r=5，
解得：r=1，
∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=1．
故答案為：2.5，1．

點評 本題考查了直角三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、正方形的判定；熟知直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半和由勾股定理求出內(nèi)切圓半徑是解決問題的關鍵．