Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度y（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0，當(dāng)車流密度不超過25輛/千米時，車流速度為70千米/小時，研究表明：當(dāng)25≤x≤200時，車流速度y是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時）w=x•y可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）分0≤x≤25時，根據(jù)題意車流速度為定值70千米/小時，25＜x≤200時，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（25，70），（200，0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）把y換成關(guān)于x的關(guān)系式，整理并寫成頂點(diǎn)式解析式，再根據(jù)拋物線的最值問題解答即可．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤25時，車流速度為y=70，
當(dāng)25＜x≤200時，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
則圖象經(jīng)過點(diǎn)（25，70），（200，0），
所以，

25k+b=70 200k+b=0

，
解得

k=- 2 5 b=80

，
此時y=-

2

5

x+80，
所以，函數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=

70(0≤x≤25) - 2 5 x+80(25＜x≤200)

；

（2）w=x•y=x（-

2

5

x+80）=-

2

5

x²+80x=-

2

5

（x-200x+10000）²+4000=-

2

5

（x-100）²+4000，
即w=-

2

5

（x-100）²+4000，
所以，當(dāng)車流密度x=100時，車流量w有最大值，為4000輛/小時．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，（1）要注意根據(jù)自變量的取值范圍分段求解．