【題目】如圖,拋物線y=x2+bx-2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).
⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
⑵判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
⑶點M(m,0)是x軸上的一個動點,當(dāng)CM+DM的值最小時,求m的值.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2-x-2
頂點D的坐標為 (, -).
(2)△ABC是直角三角形,理由見解析;
(3).
【解析】
(1)把點A坐標代入拋物線即可得解析式,從而求得頂點坐標;
(2)分別計算出三條邊的長度,符合勾股定理可知其是直角三角形;
(3)作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′,則C′(0,2),OC′=2,連接C′D交x軸于點M,根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知,MC + MD的值最小.
解:(1)∵點A(-1,0)在拋物線y=x2 +bx-2上
∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0
解得b =
∴拋物線的解析式為y=x2-x-2.
y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,
∴頂點D的坐標為 (, -).
(2)當(dāng)x = 0時y = -2,
∴C(0,-2),OC = 2.
當(dāng)y = 0時,x2-x-2 = 0, ∴x1 = -1, x2 = 4
∴B (4,0)
∴OA =1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 =AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′,則C′(0,2),OC′=2,連接C′D交x軸于點M,根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知,MC +MD的值最。
解法一:設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點E.
∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴,∴m=.
解法二:設(shè)直線C′D的解析式為y =kx +n ,
則,解得n = 2,.
∴.
∴當(dāng)y = 0時,,
∴.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點P,D分別是BC,AC邊上的點,且∠APD=∠B.
(1)求證:△ABP∽△PCD;
(2)若AB=10,BC=12,當(dāng)PD∥AB時,求BP的長.
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【題目】如圖,山坡上有一棵樹AB,樹底部B點到山腳C點的距離BC為米,山坡的坡角為30°.小寧在山腳的平地F處測量這棵樹的高,點C到測角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測得樹頂部A的仰角為45°,樹底部B的仰角為20°,求樹AB的高度.(參考數(shù)值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
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【題目】下面是小明同學(xué)設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.
已知:如圖1,和外的一點.
求作:過點作的切線.
作法:如圖2,
①連接;
②作線段的垂直平分線,直線交于;
③以點為圓心,為半徑作圓,交于點和;
④作直線和.
則,就是所求作的的切線.
根據(jù)上述作圖過程,回答問題:
(1)用直尺和圓規(guī),補全圖2中的圖形;
(2)完成下面的證明:
證明:連接,,
∵由作圖可知是的直徑,
∴(______)(填依據(jù)),
∴,,
又∵和是的半徑,
∴,就是的切線(______)(填依據(jù)).
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【題目】我市某中學(xué)藝術(shù)節(jié)期間,向全校學(xué)生征集書畫作品.九年級美術(shù)王老師從全年級14個班中隨機抽取了4個班,對征集到的作品的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計,制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)王老師采取的調(diào)查方式是 (填“普查”或“抽樣調(diào)查”),王老師所調(diào)查的4個班征集到作品共 件,其中b班征集到作品 件,請把圖2補充完整;
(2)王老師所調(diào)查的四個班平均每個班征集作品多少件?請估計全年級共征集到作品多少件?
(3)如果全年級參展作品中有5件獲得一等獎,其中有3名作者是男生,2名作者是女生.現(xiàn)在要在其中抽兩人去參加學(xué)?偨Y(jié)表彰座談會,請直接寫出恰好抽中一男一女的概率.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.
(1)若P、Q分別從A、B同時出發(fā),那么幾秒后△PBQ的面積等于4cm2?
(2)如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),那么幾秒后,PQ的長度等于5cm?
(3)在(1)中,△PBQ的面積能否等于7cm2? 請說明理由.
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【題目】如圖,和都是等邊三角形,且點A、C、E在同一直線上,與、分別交于點F、M,與交于點N.下列結(jié)論正確的是_______(寫出所有正確結(jié)論的序號).
①;②;③;④
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【題目】如圖,為了開發(fā)利用海洋資城,某勘測飛機測量一島嶼兩端A,B的距高,飛機在距海平面垂直高度為100m的點C處測得端點A的俯角為60°,然后沿著平行于AB的方向水平飛行500m,在點D測得端點B的俯角為45°,則島嶼兩端A,B的距離為___________.(結(jié)果保留根號)
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