Question

【題目】如圖所示，AB是00的直徑，BC是⊙O的切線，連接AC，交⊙0于D，E為弧AD上一點(diǎn)，連接AE，BE交AC于點(diǎn)F且,(1)求證CB=CF；(2)若點(diǎn)E到弦AD的距離為3，cos C=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）6

【解析】試題分析：（1）如圖1，通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等推知， 又由弦切角定理、對(duì)頂角相等證得 最后根據(jù)等角對(duì)等邊證得結(jié)論；
（2）如圖2，連接OE交AC于點(diǎn)G，設(shè)的半徑是r.根據(jù)（1）中的相似三角形的性質(zhì)證得∠4=∠5，所以由“圓周角、弧、弦間的關(guān)系”推知點(diǎn)E是弧的中點(diǎn)，則 然后通過(guò)解直角求得，則以求的值．

試題解析：(1)證明：如圖1，

∵

又∵∠AEF=∠AEB，

∴△AEF∽△AEB，

∴∠1=∠EAB.

∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，

∴∠2=∠3，

∴CB=CF；

(2)如圖2，連接OE交AC于點(diǎn)G，設(shè)的半徑是r.

由(1)知,△AEF∽△AEB,則∠4=∠5.

∴.=,

∴OE⊥AD，

∴EG=3

且

即

解得,r=6,即的半徑是6.