Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10， = = ，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，M是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵ = = ， 點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正確；
∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正確；
∵ 的度數(shù)是60°，
∴ 的度數(shù)是120°，
∴只有當(dāng)M和A重合時(shí)，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合時(shí)，DM⊥CE，∴③錯(cuò)誤；
做C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，交AB于N，連接DF交AB于M，此時(shí)CM+DM的值最短，等于DF長(zhǎng)，
連接CD，

∵ = = = ，并且弧的度數(shù)都是60°，
∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直徑，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正確；
答案為：C．
利用圓心角的性質(zhì)可得∠BOE∠DOB=∠BOE=∠COD= × 180 =60°;∠CED= ∠COD= ∠ D O B;利用對(duì)稱法，可求出CM+DM的最小值是10.