【題目】古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16,…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.

(1)第5個(gè)“三角形數(shù)”是 ,第n個(gè)“三角形數(shù)”是 ,第5個(gè)“正方形數(shù)”是 ,第n個(gè)“正方形數(shù)”是 .

(2)除“1”以外,請(qǐng)?jiān)賹懸粋(gè)既是“三角形數(shù)”,又是“正方形數(shù)”的數(shù) .

(3)經(jīng)探究我們發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看做兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和. 例如:①4=1+3;②9=3+6;③16=6+10;④ ;⑤ ;…請(qǐng)寫出上面第4個(gè)和第5個(gè)等式.

(4)在(3)中,請(qǐng)?zhí)骄?/span>n2= + 。

【答案】115,25n2;(236;

325=10+15,36=15+21;

4)見解析

【解析】1)觀察發(fā)現(xiàn),第5個(gè)三角形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上5,即為15,第n個(gè)三角形數(shù)等于第(n﹣1)個(gè)三角形數(shù)加上n,即為1+2+3+…+n,計(jì)算即可;第5個(gè)正方形數(shù)52,第n個(gè)正方形數(shù)是n2

2)根據(jù)①4=1+3②9=3+6,③16=6+10即可得出第4個(gè)等式為第5個(gè)三角形數(shù)等于第4個(gè)三角形數(shù)加上第5個(gè)三角形數(shù),第5個(gè)等式為第6個(gè)三角形數(shù)等于第5個(gè)三角形數(shù)加上第6個(gè)三角形數(shù);

3)第n個(gè)等式為第(n+1)個(gè)三角形數(shù)等于第n個(gè)三角形數(shù)加上第(n+1)個(gè)三角形數(shù)

解:(115,,25,n2;(21+2+3+4+5+6+7+8=36,62=36,所以36是三角形數(shù),也是正方形數(shù)

325=10+15,36=15+21;

4

右邊=

=

=n2+2n+1=n+12=左邊,

原等式成立.

故答案為15,,25n2;25=10+1536=15+21

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