Question

（2013•沈陽(yáng)）已知等邊三角形ABC的高為4，在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到AB的距離是1，點(diǎn)P到AC的距離是2，則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是

1，7

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當(dāng)P與N重合時(shí)，HN為P到BC的最小距離；當(dāng)P與M重合時(shí)，MQ為P到BC的最大距離，根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出DB與FB的長(zhǎng)，以及CG與CE的長(zhǎng)，進(jìn)而由DB+BC+CE求出DE的長(zhǎng)，由BC-BF-CG求出FG的長(zhǎng)，求出等邊三角形NFG與等邊三角形MDE的高，即可確定出點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，
當(dāng)P與N重合時(shí)，HN為P到BC的最小距離；當(dāng)P與M重合時(shí)，MQ為P到BC的最大距離，
根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，
∴DB=FB=

1

sin60°

=

2 3

3

，CE=CQ=

2

sin60°

=

4 3

3

，
∴DE=DB+BC+CE=

2 3

3

+

8 3

3

+

4 3

3

=

14 3

3

，F(xiàn)G=BC-BF-CG=

2 3

3

，
∴NH=

3

2

FG=1，MQ=

3

2

DE=7，
則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7．
故答案為：1，7

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及平行線間的距離，作出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．