Question

【題目】如圖①，在中，，是邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），以為一直角邊作，，連接，.若和是等腰直角三角形.

（1）猜想線段，之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

（2）現(xiàn)將圖①中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到圖②，請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）BE=AD，BE⊥AD ；（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立，理由見解析

【解析】

（1）由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易證△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因?yàn)椤?/span>EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；
（2）成立．設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F，BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G，易證△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根據(jù)等量代換得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD．

（1）BE=AD，BE⊥AD；

在△BCE和△ACD中，

∵，

∴△BCE≌△ACD(SAS)，

∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，

∵∠EBC+∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ADC=90°，

∴BE⊥AD.

故答案為：BE=AD，BE⊥AD.

（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立

設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為F，BE與AD的交點(diǎn)為G，如圖

∴，

∴.

在和中，

∵

∴.

∴

∵，

∴，

，

∴BE⊥AD