【題目】已知:△ABC為等邊三角形.
(1)求作:△ABC的外接圓⊙O.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)射線AO交BC于點D,交⊙O于點E,過E作⊙O的切線EF,與AB的延長線交于點F.
①根據(jù)題意,將(1)中圖形補全;
②求證:EF∥BC;
③若DE=2,求EF的長.
【答案】(1)如圖所示:⊙O即為所求.見解析;(2)①如圖2,補全圖形,見解析;②證明見解析;③EF=.
【解析】
(1)直接利用外接圓的作法作出三角形任意兩邊的垂直平分線,進而得出外接圓圓心,進而得出答案;
(2)①按題意畫出圖形即可;
②連接OB,OC,證明AE⊥BC.可得出AE⊥EF,則結(jié)論得證;
③得出∠BOD=60°,設(shè)OD=x,則OB=OE=2+x,得出cos∠BOD,
求出x=2,得出tan∠BAD,則可求出EF的值.
(1)如圖所示:⊙O即為所求.
(2)①如圖2,補全圖形:
②證明:連接OB,OC,
∵OB=OC,
∴點O在線段BC的垂直平分線上,
∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC,
∴點A在線段BC的垂直平分線上,
∴AO垂直平分BC,
∴AE⊥BC.
∵直線EF為⊙O的切線,
∴AE⊥EF,
∴EF∥BC;
③解:∵△ABC為等邊三角形,
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠BAD=∠BAC,
∴∠BAD=30°,
∴∠BOD=60°,
∵DE=2,
設(shè)OD=x,
∴OB=OE=2+x,
在Rt△OBD中,∵OD⊥BC,∠BOD=60°,
∴cos∠BOD=,
∴x=2,
∴OD=2,OB=4,
∴AE=8,
在△AEF中,∵AE⊥EF,∠BAD=30°,
∴tan∠BAD=,
∴EF=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別交軸、軸于點,交直線于點.動點在直線上以每秒個單位的速度從點向終點運動,同時,動點以每秒個單位的速度從點沿的方向運動,當(dāng)點到達終點時,點同時停止運動.設(shè)運動時間為秒.
(1)求點的坐標(biāo)和的長.
(2)當(dāng)時,線段交于點且求的值.
(3)在點的整個運動過程中,
①直接用含的代數(shù)式表示點的坐標(biāo).
②利用(2)的結(jié)論,以為直角頂點作等腰直角(點按逆時針順序排列).當(dāng)與的一邊平行時,求所有滿足條件的的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1) ,將一個正六邊形各邊延長,構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE,它的面積為1,取△ABC和△DEF各邊中點,連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如圖(2)中陰影部分;取△A1B1C1和1D1E1F1各邊中點,連接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2,如圖(3) 中陰影部分;如此下去…,則正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面積為_______.
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【題目】如圖1,四邊形ABCD為矩形,曲線L經(jīng)過點D.點Q是四邊形ABCD內(nèi)一定點,點P是線段AB上一動點,作PM⊥AB交曲線L于點M,連接QM.
小東同學(xué)發(fā)現(xiàn):在點P由A運動到B的過程中,對于x1=AP的每一個確定的值,θ=∠QMP都有唯一確定的值與其對應(yīng),x1與θ的對應(yīng)關(guān)系如表所示:
x1=AP | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
θ=∠QMP | α | 85° | 130° | 180° | 145° | 130° |
小蕓同學(xué)在讀書時,發(fā)現(xiàn)了另外一個函數(shù):對于自變量x2在﹣2≤x2≤2范圍內(nèi)的每一個值,都有唯一確定的角度θ與之對應(yīng),x2與θ的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示:
根據(jù)以上材料,回答問題:
(1)表格中α的值為 .
(2)如果令表格中x1所對應(yīng)的θ的值與圖2中x2所對應(yīng)的θ的值相等,可以在兩個變量x1與x2之間建立函數(shù)關(guān)系.
①在這個函數(shù)關(guān)系中,自變量是 ,因變量是 ;(分別填入x1和x2)
②請在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,并畫出這個函數(shù)的圖象;
③根據(jù)畫出的函數(shù)圖象,當(dāng)AP=3.5時,x2的值約為 .
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【題目】一筆總額為元的獎金,分為一等獎、二等獎和三等獎,獎金金額均為整數(shù),每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的兩倍,每個二等獎的獎金是每個三等獎獎金的兩倍,若把這筆獎金發(fā)給個人,評一、二、三等獎的人數(shù)分別為,且,那么三等獎的獎金金額是_______元.
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【題目】如果的兩個端點分別在的兩邊上(不與點重合),并且除端點外的所有點都在的內(nèi)部,則稱是的“連角弧”.
(1)圖1中,是直角,是以為圓心,半徑為1的“連角弧”.
①圖中的長是______,并在圖中再作一條以為端點、長度相同的“連角弧”;
②以為端點,弧長最長的“連角弧”的長度是_______.
(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,點,點在軸正半軸上,若是半圓,也是的“連角弧”,求的取值范圍.
(3)如圖3,已知點分別在射線上,是的“連角弧”,且所在圓的半徑為,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,∠ACB=90°,過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E.
(1)求證:四邊形ACED是矩形;
(2)連接AE交CD于點F,連接BF.若∠ABC=60°,CE=2,求BF的長.
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【題目】已知線段AB,如果將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,則稱點C為線段AB關(guān)于點A的逆轉(zhuǎn)點.點C為線段AB關(guān)于點A的逆轉(zhuǎn)點的示意圖如圖1:
(1)如圖2,在正方形ABCD中,點_____為線段BC關(guān)于點B的逆轉(zhuǎn)點;
(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P的坐標(biāo)為(x,0),且x>0,點E是y軸上一點,點F是線段EO關(guān)于點E的逆轉(zhuǎn)點,點G是線段EP關(guān)于點E的逆轉(zhuǎn)點,過逆轉(zhuǎn)點G,F的直線與x軸交于點H.
①補全圖;
②判斷過逆轉(zhuǎn)點G,F的直線與x軸的位置關(guān)系并證明;
③若點E的坐標(biāo)為(0,5),連接PF、PG,設(shè)△PFG的面積為y,直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線與軸交于點,與軸交于點,以為直徑作,點為線段上一動點(與點O、A不重合),作于,連結(jié)并延長交于點.
(1)求點的坐標(biāo)和的值;
(2)設(shè).
①當(dāng)時,求的值及點的坐標(biāo);
②求關(guān)于的函數(shù)表達式.
(3)如圖2,連接,當(dāng)點在線段上運動時,求的最大值.
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