Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=2，BC=4，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，且CE=BC，連接AE，F(xiàn)為線段AE的中點(diǎn)
（1）求線段CF的長(zhǎng)；
（2）求∠CAE的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接AD，

∵AB=AC，且D為BC中點(diǎn)，BC=4，

∴AD⊥BC，BD=CD=2，

∵tanB= =2，

∴AD=BDtanB=4，

∴AB=AC= = =2 ，

又∵BC=CE，AF=EF，

∴CF= AB=

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AE于點(diǎn)M，

∴∠AMC=∠EMC=90°，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE= = =2 ，

∵由勾股定理得；CM2=AC2﹣AM2=CE2﹣EM2，

∴（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2，

解得：AM= ，

CM= = = ，

∴∠CAE的正弦值是 = =

【解析】（1）連接AD，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得AD⊥BC，BD=CD=2，根據(jù)tanB= =2可得AD=4，由勾股定理得AB=AC=2 ，根據(jù)BC=CE、AF=EF即可得CF= AB．（2）過(guò)C作CM⊥AE于M，則∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2 ）2﹣AM2=42﹣（2 ﹣AM）2 ， 求出AM，求出CM，即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．